Олимпиадная задача Богданова: Инварианты на круге для 8-10 классов

Обозначим числа на окружности через  a₁,..,a2009, и положим a_n+2009=a_n=a_n-2009. Пусть N=100400.

1. Положим a₂=a₄=..=a2008=100и a₁=a₃=..=a2009=0. Пусть мы сумели сделать все числа равными при каком-то значении  k . Рассмотрим сумму S=(a₂-a₃)+(a₄-a₅)+..+(a2008-a2009). Эта сумма увеличивается на 1при прибавлении единицы к паре (a₁,a₂), уменьшается на 1при прибавлении к паре (a2009,a₁)и не изменяется при всех остальных операциях. Поскольку исходное значение  S равно  S₀=100· 1004=N , а конечное должно быть нулем, то пара (a2009,a₁)увеличивалась хотя бы N раз. Это значит, чтоk N .
2. Осталось показать, что при k=N требуемое всегда возможно. Рассмотрим произвольный набор чисел a_i . Увеличим каждую пару(a_i,a_i+1)ровно  s_i=a_i+2+a_i+4+..+a_i+2008раз. Тогда число  a_i превратится в

s_i

Ответ задачи отсутствует