Олимпиадные задачи по теме «Показательные функции и логарифмы» для 9 класса

Найдите такое значение $a > 1$,  при котором уравнение  $a^x = \log_a x$  имеет единственное решение.

Найдите все положительные корни уравнения  <i>x^x + x</i>^1–<i>x</i> = <i>x</i> + 1.

Функция<i> f </i>такова, что для любых положительных<i> x </i>и<i> y </i>выполняется равенство<i> f</i>(<i>xy</i>)<i> = f</i>(<i>x</i>)<i> + f</i>(<i>y</i>). Найдите<i> f</i>(2007), если<i> f</i>(<i><img src="/storage/problem-media/109438/problem_109438_img_2.gif"></i>)<i> = </i>1.

Доказать, что если <center><i>

(x(y+z-x))/ x=(y(z+x-y))/ y=(z(x+y-z))/ z,

</i></center> то<i> x^yy^x=z^yy^z=x^zz^x </i>.

Расположите в порядке возрастания числа: 222²; 22²²; 2²²²; 22^2²; 2^22²; 2^2²²; 2^{2^2²}. Ответ обоснуйте.

Существует ли на координатной плоскости прямая, относительно которой симметричен график функции<i>y</i>= 2^x?

Какое из двух чисел больше:   а)   <img src="/storage/problem-media/79303/problem_79303_img_2.gif">   (<i>n</i> двоек) или   <img src="/storage/problem-media/79303/problem_79303_img_3.gif"> (<i>n</i> − 1  тройка);   б)   <img src="/storage/problem-media/79303/problem_79303_img_3.gif">   (<i>n</i> троек) или   <img src="/storage/problem-media/79303/problem_79303_img_4.gif">   (<i>n</i> − 1  четвёрка).

Решить в положительных числах систему:<div align="CENTER"> $\displaystyle \left{\vphantom{ \begin{array}{rcl} x^y&=&z,\ y^z&=&x,\ z^x&=&y. \end{array} }\right.$$\displaystyle \begin{array}{rcl} x^y&=&z,\ y^z&=&x,\ z^x&=&y. \end{array}$ </div>

По заданному ненулевому<i>x</i>значение<i>x</i>⁸можно найти за три арифметических действия:<nobr><i>x</i>² = <i>x</i> · <i>x</i>,</nobr><nobr><i>x</i>⁴ = <i>x</i>² · <i>x</i>²,</nobr><nobr><i>x</i>⁸ = <i>x</i>⁴ · <i>x</i>⁴,</nobr>а<nobr><i>x</i>¹⁵ —</nobr>за пять действий: первые<nobr>три —</nobr>те же самые, затем<nobr><i>x</i>⁸ · <i>x<...

У математика есть 19 различных гирь, массы которых в килограммах равны $\ln 2$, $\ln 3$, $\ln 4, \ldots, \ln 20$, и абсолютно точные двухчашечные весы. Он положил несколько гирь на весы так, что установилось равновесие. Какое наибольшее число гирь могло оказаться на весах?

В прямоугольной системе координат (с одинаковым масштабом по осям $x$ и $y$) нарисовали график функции  $y = f(x)$.  Затем ось ординат и все отметки на оси абсцисс стёрли. Предложите способ, как с помощью карандаша, циркуля и линейки восстановить ось ординат, если

  а)  $f(x) = 3^x$;

  б)  $f(x)$ = log<i>_ax</i>,  где  $a$ > 1  – неизвестное число.

В декартовой системе координат (с одинаковым масштабом по осям $x$ и $y$) нарисовали график показательной функции $y=3^x$. Затем ось $y$ и все отметки на оси $x$ стёрли. Остались лишь график функции и ось $x$ без масштаба и отметки 0. Каким образом с помощью циркуля и линейки можно восстановить ось $y$?

Решите уравнение $$\tan\pi {}x = [\lg \pi^x]-[\lg [\pi^x]],$$ где $[a]$ обозначает наибольшее целое число, не превосходящее $a$.

На доске в ряд в некотором порядке выписаны несколько степеней двойки. Для каждой пары соседних чисел Петя записал в тетрадку степень, в которую нужно возвести левое число, чтобы получилось правое. Первым в ряду на доске шло число 2, а последним – число 1024. Вася утверждает, что этого достаточно, чтобы найти произведение всех чисел в тетрадке. Прав ли Вася?

Известно, что число <i>a</i> положительно, а неравенство  10 < <i>a^x</i> < 100  имеет ровно пять решений в натуральных числах.

Сколько таких решений может иметь неравенство  100 < <i>a^x</i> < 1000?

При каких значениях<i>a</i>и<i>b</i>возможно равенство<div align="CENTER"> sin <i>a</i> + sin <i>b</i> = sin(<i>a</i> + <i>b</i>)? </div>

Как расставить скобки в выражении2^{2^{.^{.^.²}}}, чтобы оно было максимальным?

При каких натуральных <i>a</i> и <i>b</i> число log<i>_ab</i> будет рациональным?

Докажите, что для любого натурального <i>n</i> в десятичной записи чисел 2002^<i>n</i> и  2002^<i>n</i> + 2^<i>n</i>  одинаковое число цифр.

Какое из чисел больше: 31¹¹ или 17¹⁴?