Олимпиадные задачи по теме «Многочлены» для 7 класса

Можно ли в записи  2013² – 2012² – ... – 2² – 1²  некоторые минусы заменить на плюсы так, чтобы значение получившегося выражения стало равно 2013?

Два приведённых квадратных трёхчлена имеют общий корень, а дискриминант их суммы равен сумме их дискриминантов.

Докажите, что тогда дискриминант хотя бы одного из этих двух трёхчленов равен нулю.

В кафе Цветочного города автомат выдаёт пончик, если ввести в него число <i>x</i>, при котором значение выражения  <i>x</i>² – 9<i>x</i> + 13  отрицательно. А если ввести число <i>x</i>, при котором отрицательно значение выражения  <i>x</i>² + <i>x</i> – 5,  то автомат выдаёт сироп. Сможет ли Незнайка, введя в автомат всего одно число, получить и то и другое?

Натуральные числа <i>а, b, c</i> и <i>d</i> таковы, что  <i>ab = cd</i>.  Может ли число  <i>a + b + c + d</i>  оказаться простым?

Для чисел <i>а, b</i> и <i>с</i>, отличных от нуля, выполняется равенство:  <i>a</i>²(<i>b + c – a</i>) = <i>b</i>²(<i>c + a – b</i>) = <i>c</i>²(<i>a + b – c</i>).   Следует ли из этого, что  <i>а = b = c</i>?

Является ли простым число  2011·2111 + 2500?

Существуют ли два одночлена, произведение которых равно –12<i>а</i>⁴<i>b</i>², а сумма является одночленом с коэффициентом 1?

На рисунке изображен график приведённого квадратного трёхчлена (ось ординат стёрлась, расстояние между соседними отмеченными точками

равно 1). Чему равен дискриминант этого трёхчлена? <div align="center"><img src="/storage/problem-media/116482/problem_116482_img_2.gif"></div>

Вычислите:   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116475/problem_116475_img_2.gif">

Существуют ли такие целые числа <i>x, y</i> и <i>z</i>, для которых выполняется равенство:  (<i>x – y</i>)³ + (<i>y – z</i>)³ + (<i>z – x</i>)³ = 2011?

Найдите все пары простых чисел, разность квадратов которых является простым числом.

Найдите<i>x</i>³+<i>y</i>³, если известно, что<i>x + y</i>= 5 и<i>x + y + x</i>²<i>y</i>+<i>xy</i>²= 24.

Представьте числовое выражение  2·2009² + 2·2010²  в виде суммы квадратов двух натуральных чисел. .

Существуют ли нечётные целые числа <i>х, у</i> и <i>z</i>, удовлетворяющие равенству  (<i>x + y</i>)² + (<i>x + z</i>)² = (<i>y + z</i>)²?

Числа <i>a, b, c</i> таковы, что  <i>a</i>²(<i>b + c</i>) = <i>b</i>²(<i>a + c</i>) = 2008  и  <i>a ≠ b</i>.  Найдите значение выражения  <i>c</i>²(<i>a + b</i>).

Графики функций  <i>у = х</i>² + <i>ах + b</i>  и  <i>у = х</i>² + <i>сх + d</i>  пересекаются в точке с координатами  (1, 1).  Сравните  <i>а</i>⁵ + <i>d</i>⁶  и  <i>c</i>⁶ – <i>b</i>⁵.

Для некоторых натуральных чисел <i>a, b, c</i> и <i>d</i> выполняются равенства  <i>^a/_c = ^b/_d</i> = ^<i>ab</i>+1/_<i>cd</i>+1.  Докажите, что  <i>a = c</i>  и  <i>b = d</i>.

Докажите, что числа от 1 до 15 нельзя разбить на две группы: <i>A</i> из двух чисел и <i>B</i> из 13 чисел так, чтобы сумма чисел в группе <i> B </i> была равна произведению чисел в группе <i>A</i>.

Мороженое стоит 2000 рублей. У Пети имеется  400⁵ – 399²·(400³ + 2·400² + 3·400 + 4)  рублей. Достаточно ли у Пети денег на мороженое?

Можно ли в таблице 11×11 расставить натуральные числа от 1 до 121 так, чтобы числа, отличающиеся друг от друга на единицу, располагались в клетках с общей стороной, а все точные квадраты попали в один столбец?

Натуральные числа <i>x</i> и <i>y</i> таковы, что  2<i>x</i>² – 1 = <i>y</i>¹⁵.  Докажите, что если  <i>x</i> > 1,  то <i>x</i> делится на 5.

Известно, что уравнение  <i>ax</i>⁵ + <i>bx</i>⁴ + <i>c</i> = 0  имеет три различных корня. Докажите, что уравнение  <i>cx</i>⁵ + <i>bx + a</i> = 0  также имеет три различных корня.

Натуральное число <i>n</i> таково, что числа  2<i>n</i> + 1  и  3<i>n</i> + 1  являются квадратами. Может ли при этом число  5<i>n</i> + 3  быть простым?

Числа <i>a, b</i> и <i>c</i> отличны от нуля и выполняются равенства:  <i>a + ^b</i>/<i>_c = b + ^c</i>/<i>_a = c + ^a</i>/_<i>b</i> = 1.  Докажите, что  <i>ab + bc + ca</i> = 0.

Известно, что число <i>n</i> является суммой квадратов трёх натуральных чисел. Показать, что число <i>n</i>² тоже является суммой квадратов трёх натуральных чисел.