Олимпиадные задачи по теме «Многочлены» для 4-6 класса

Можно ли в записи  2013² – 2012² – ... – 2² – 1²  некоторые минусы заменить на плюсы так, чтобы значение получившегося выражения стало равно 2013?

Два приведённых квадратных трёхчлена имеют общий корень, а дискриминант их суммы равен сумме их дискриминантов.

Докажите, что тогда дискриминант хотя бы одного из этих двух трёхчленов равен нулю.

В кафе Цветочного города автомат выдаёт пончик, если ввести в него число <i>x</i>, при котором значение выражения  <i>x</i>² – 9<i>x</i> + 13  отрицательно. А если ввести число <i>x</i>, при котором отрицательно значение выражения  <i>x</i>² + <i>x</i> – 5,  то автомат выдаёт сироп. Сможет ли Незнайка, введя в автомат всего одно число, получить и то и другое?

Можно ли найти десять таких последовательных натуральных чисел, что сумма их квадратов равна сумме квадратов следующих за ними девяти последовательных натуральных чисел?

Шестизначное число начинается с цифры 5. Верно ли, что к нему всегда можно приписать справа шесть цифр так, чтобы получился полный квадрат?

Чему равно произведение   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/88272/problem_88272_img_2.gif">

Найти хотя бы одно целочисленное решение уравнения  <i>a</i>²<i>b</i>² + <i>a</i>² + <i>b</i>² + 1 = 2005.

Замените $\ast$ одинаковыми числами так, чтобы равенство стало верным: $$\frac{20}{\ast} - \frac{\ast}{15} = \frac{20}{15}$$

На каждой из ста карточек записано по одному числу, отличному от нуля, так, что каждое число равно квадрату суммы всех остальных.

Какие это числа?

Юра начертил на клетчатой бумаге прямоугольник (по клеточкам) и нарисовал на нём картину. После этого он нарисовал вокруг картины рамку шириной в одну клеточку (см. рис.). Оказалось, что площадь картины равна площади рамки. Какие размеры могла иметь Юрина картина? <div align="center"><img src="/storage/problem-media/65105/problem_65105_img_2.gif"></div>

В шахматном турнире участвовали гроссмейстеры и мастера. По окончании турнира оказалось, что каждый участник набрал ровно половину своих очков в матчах с мастерами. Докажите, что количество участников турнира является квадратом целого числа. (Каждый участник сыграл с каждым по одной партии, победа – 1 очко, ничья – ½ очка, поражение – 0 очков.)

Верно ли, что многочлен  <i>P</i>(<i>n</i>) = <i>n</i>² + <i>n</i> + 41  при всех <i>n</i> принимает только простые значения?

Докажите, что квадрат нечётного числа дает остаток 1 при делении на 8.

Вычислить  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/32077/problem_32077_img_2.gif"> .

Сколькими способами число 1979 можно представить в виде разности двух квадратов натуральных чисел?

Разложить на множители выражение $x^3 + y^3 + z^3 - 3 x y z$.

Решить в натуральных числах систему

  <i>a</i>² + <i>b – c</i> = 100,

  <i>a + b</i>² – <i>c</i> = 124.

Решить в натуральных числах уравнение  1 + <i>x</i> + <i>x</i>² + <i>x</i>³ = 2<i>^y</i>.

Решить в натуральных числах уравнение  3^<i>n</i> + 55 = <i>m</i>².

Решить в простых числах уравнение  <i>pqr</i> = 7(<i>p + q + r</i>).

Найти наименьшее значение выражения  |36^<i>k</i> – 5^<i>l</i>|  (<i>k, l</i> – натуральные числа).

Найти все натуральные <i>n</i>, для которых  2^<i>n</i> + 33  – точный квадрат.

Доказать, что  3^{2^<i>n</i>} – 1   a) делится на 2^<i>n</i>+2;   б) не делится на 2^<i>n</i>+3.

Доказать, что существует бесконечно много натуральных чисел, не представимых в виде  <i>n</i>² + <i>p</i>  (<i>p</i> – простое).

Доказать, что уравнение  <i>x</i>² + 1990 = <i>y</i>²  не имеет решений в целых числах.