Олимпиадные задачи по теме «Комплексные числа» для 11 класса - сложность 3-4 с решениями

Обозначим через [<i>n</i>]! произведение 1·11·111·...·11...11 – всего <i>n</i> сомножителей, в последнем – <i>n</i> единиц.

Докажите, что  [<i>n</i> + <i>m</i>]!  делится на произведение [<i>n</i>]!·[<i>m</i>]!.

Найти минимальное и максимальное значения аргумента комплексных чисел <i>y</i>, удовлетворяющих условию  |<i>y</i> + ¹/_<i>y</i>| = <img src="/storage/problem-media/109169/problem_109169_img_2.gif"> .

  На доске написаны три функции:  <i>f</i>₁(<i>x</i>) = <i>x</i> + ¹/_<i>x</i>,   <i>f</i>₂(<i>x</i>) = <i>x</i>²,   <i>f</i>₃(<i>x</i>) = (<i>x</i> – 1)².  Можно складывать, вычитать и перемножать эти функции (в том числе возводить в квадрат, в куб, ...), умножать их на произвольное число, прибавлять к ним произвольное число, а также проделывать эти операции с полученными выражениями. Получите таким образом функцию ¹/_<i>x</i>.

  Докажите, что если стереть с доски любую из функций  <i>f</i&...

Докажите следующие равенства: а)   <img align="middle" src="/storage/problem-media/85241/problem_85241_img_2.gif">

б)   <img align="middle" src="/storage/problem-media/85241/problem_85241_img_3.gif">

в)   <img align="middle" src="/storage/problem-media/85241/problem_85241_img_4.gif">

Докажите, что ни при каком целом <i>A</i> многочлен  3<i>x</i>^2<i>n</i> + <i>Ax</i>^<i>n</i> + 2  не делится на многочлен  2<i>x</i>^2<i>m</i> + <i>Ax</i>^<i>m</i> + 3.

Пусть  <i>p = a_m</i>10<i>^m + a</i>_<i>m</i>–110^<i>m</i>–1 + ... + <i>a</i>₀  – простое число, записанное в десятичной системе счисления. Докажите, что многочлен

<i>P</i>(<i>x</i>) = <i>a_mx^m + a</i>_<i>m</i>–1<i>x</i>^<i>m</i>–1 + ... + <i>a</i>₁<i>x + a</i>₀  неприводим над целыми числами.

Для каждого натурального  <i>n</i> > 1  существует такое число <i>c_n</i>, что для любого <i>x</i> произведение синуса числа <i>x</i>, синуса числа  <i>x</i> + ^π/_<i>n</i>,  синуса числа

<i>x</i> + ^2π/_<i>n</i>,  ..., наконец, синуса числа  <i>x</i> + ^{(<i>n</i> – 1)π}/_<i>n</i>  равно произведению числа <i>c_n</i> на синус числа <i>nx</i>. Докажите это и найдите величину <i>c_n</i>.

Сумма тангенсов углов величиной 1°, 5°, 9°, 13°, ..., 173°, 177°<nobr>равна 45.</nobr>Докажите это.

Дан многочлен $P(x)$ степени $n>5$ с целыми коэффициентами, имеющий $n$ различных целых корней. Докажите, что многочлен $P(x)+3$ имеет $n$ различных действительных корней.

Докажите, что если корни многочлена  <i>f</i>(<i>x</i>) = <i>x</i>³ + <i>ax</i>² + <i>bx + c</i>  образуют правильный треугольник на комплексной плоскости, то многочлен

<i>f'</i>(<i>x</i>) = 3<i>x</i>² + 2<i>ax + b</i>  имеет двукратный корень, расположенный в центре этого треугольника.

Пусть <i>u</i> – точка на единичной окружности  <i>z</i><img width="12" height="14" align="BOTTOM" border="0" src="/storage/problem-media/61197/problem_61197_img_2.gif"> = 1  и <i>u</i>₁, <i>u</i>₂, <i>u</i>₃ – основания перпендикуляров, опущенных из <i>u</i> на стороны <i>a</i>₂<i>a</i>₃, <i>a</i>₁<i>a</i>₃, <i>a</i>₁<i>a</i>₂ вписанного в эту окружностьтреугольника <i>a</i>&lt...

Докажите, что cтепень точки <i>w</i> относительно окружности  <i>Az<span style="text-decoration: overline;">z</span> + Bz – <span style="text-decoration: overline;">B</span> <span style="text-decoration: overline;">z</span> + C</i> = 0  равна   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61190/problem_61190_img_2.gif">

Докажите, что инверсия переводит каждую окружность или прямую линию снова в окружность или прямую линию.

Докажите, что уравнение  <i>Az<span style="text-decoration: overline;">z</span> + Bz – <span style="text-decoration: overline;">B</span> <span style="text-decoration: overline;">z</span> + C</i> = 0  при отображениях  <i>w = z + u</i>  и  <i>w = ^R</i>/_<i>z</i>  переходит в уравнение такого же вида. Получите из этого круговое свойство дробно-линейных отображений (см. задачу <a href="https://mirolimp.ru/tasks/161183">161183</a>).

Докажите, что дробно-линейное отображение переводит каждую окружность или прямую линию снова в окружность или прямую линию.

Докажите, что произвольное дробно-линейное отображение вида  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61161/problem_61161_img_2.gif">  с  δ = <i>ad – bc</i> ≠ 0  может быть получено композицией параллельных переносов и отображения вида  <i>w = ^R</i>/_<i>z</i>.

Найдите

а) образ окружности  |<i>z – a – bi</i>| = <img width="66" height="36" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61157/problem_61157_img_2.gif">  при отображении <i>w</i> = ¹/_<i>z</i>;

б) образ окружности  |<i>z – a</i>| = <i>R</i>  при отображении  <i>w</i> = <img width="97" height="51" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61157/problem_61157_img_3.gif">.

Куда переходит полоса  2 < Re <i>z</i> < 3  при отображениях:

  а)  <i>w = z</i>^–1;   б)  <i>w</i> = (<i>z</i> – 2)^–1;   в)  <i>w</i> = (<i>z</i> – ⁵/₂)^–1?

Постройте образ квадрата с вершинами  <i>A</i>(0, 0),  <i>B</i>(0, 2),  <i>C</i>(2, 2),  <i>D</i>(2, 0)  при следующих преобразованиях:

  а)  <i>w = iz</i>;   б)  <i>w</i> = 2<i>iz</i> – 1;   в)  <i>w = z</i>²;   г)  <i>w = z</i>^–1.

Докажите при помощи комплексных чисел, что композицией двух гомотетий является гомотетия или параллельный перенос:   <img align="absMIDDLE" src="/storage/problem-media/61154/problem_61154_img_2.gif">   причём в первом случае вектор <i>a</i> параллелен прямой <i>A</i>₁<i>A</i>₂, а во втором случае центр результирующей гомотетии <i>A</i> лежит на прямой <i>A</i>₁<i>A</i>₂ и  <i>k = k</i>₁<i>k</i>₂.  Здесь  <img align="absMIDDLE" src="/storage/problem-media/61154/problem_61154_img_3.gif">  обозначает гомотетию...

<з>Выразите в виде  <i>w = f</i>(<i>z</i>)  следующие геометрические преобразования:   а)  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61152/problem_61152_img_2.gif">  б)  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61152/problem_61152_img_3.gif">  в)  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61152/problem_61152_img_4.gif">  г)  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61152/problem_61152_img_5.gif">;   д)  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61152/problem_61152_img_6.gif">  е)  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61152/problem_61152_img_7.gif"&gt...

Многочлен <i>P</i>(<i>x</i>) при всех действительных <i>x</i> принимает только положительные значения.

Докажите, что найдутся такие многочлены <i>a</i>(<i>x</i>) и <i>b</i>(<i>x</i>), для которых  <i>P</i>(<i>x</i>) = <i>a</i>²(<i>x</i>) + <i>b</i>²(<i>x</i>).

а) Докажите, что при нечётном  <i>n</i> > 1  справедливо равенство:   <img width="31" height="76" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61146/problem_61146_img_2.gif"><img width="29" height="49" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61146/problem_61146_img_3.gif"> = <img width="25" height="55" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61146/problem_61146_img_4.gif"> – <img width="26" height="55" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61146/problem_61146_img_5.gif">θ   (0 < θ < 1).

б) Докаж...

Докажите, что при нечётном  <i>n</i> > 1  справедливо равенство   <img align="MIDDLE" src="/storage/problem-media/61145/problem_61145_img_2.gif">

Докажите, что все корни уравнения  <i>a</i>(<i>z – b</i>)^<i>n</i> = <i>c</i>(<i>z – d</i> )^<i>n</i>, где <i>a, b, c, d</i> – заданные комплексные числа, расположены на одной окружности или прямой.