Задача
Докажите, что если корни многочлена f(x) = x³ + ax² + bx + c образуют правильный треугольник на комплексной плоскости, то многочлен
f'(x) = 3x² + 2ax + b имеет двукратный корень, расположенный в центре этого треугольника.
Решение
Пусть w – центр указанного треугольника, а w + z – один из корней. Тогда остальные корни равны w + ωz и w + ω²z, где ω – кубический корень из 1. По теореме Виета a = – 3w, b = (w + z)(2w + (ω + ω2)z) + (w + ωz)(w + ω2z) = (w + z)(2w – z) + (w² – wz + z2) = 3w². Значит, f'(x) = 3x² – 6wx + 3w² = 3(x – w)², что и требовалось.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет