Олимпиадная задача по комплексным числам: найти минимальный и максимальный аргументы
Задача
Найти минимальное и максимальное значения аргумента комплексных чисел y, удовлетворяющих условию |y + 1/y| = 
.
Решение
Пусть y = r (cos φ + isin φ). Тогда y + 1/y = r (cos φ + isin φ) + 1/r (cos φ – isin φ) = (r + 1/r) cos φ + i(r – 1/r) sin φ. Квадрат модуля этого числа равен
(r + 1/r)² cos²φ + (r – 1/r)² sin²φ = r²(cos²φ + sin²φ) + 2(cos²φ – sin²φ) + 1/r² (cos²φ + sin²φ) = (r² + 1/r²) + 2cos 2φ.
По условию (r² + 1/r²) + 2cos 2φ = 2, то есть cos 2φ = 1 – ½ (r² + 1/r²) ≤ 0. Таким образом, в пределах от 0 до 4π находим два интервала изменения для 2φ: [π/2, 3π/2] и [5π/2, 7π/2], а для φ – промежутки [π/4, 3π/4] и [5π/4, 7π/4] (аргумент комплексного числа y берётся в пределах от 0 до 2π). Поэтому минимальное значение аргумента φ числа y будет π/4, а максимальное – 7π/4.
Ответ
π/4; 7π/4.
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь