Олимпиадные задачи по теме «Арифметические действия. Числовые тождества» для 7 класса

В записи   ¼  ¼  ¼  ¼   расставьте знаки действий и, если нужно, скобки так, чтобы значение получившегося выражения равнялось 2.

Используя в качестве чисел любое количество монет достоинством 1, 2, 5 и 10 рублей, а также (бесплатные) скобки и знаки четырех арифметических действий, составьте выражение со значением 2009, потратив как можно меньше денег.

Мороженое стоит 2000 рублей. У Пети имеется  400⁵ – 399²·(400³ + 2·400² + 3·400 + 4)  рублей. Достаточно ли у Пети денег на мороженое?

Доказать, что  7 + 7² + ... + 7^4<i>K</i>,  где <i>K</i> – любое натуральное число, делится на 400.

Является ли число  4⁹ + 6¹⁰ + 3²⁰  простым?

Произведение пяти чисел не равно нулю. Каждое из этих чисел уменьшили на единицу, при этом их произведение не изменилось. Приведите пример таких чисел.

<strong>Условие 1:</strong>Среди чисел<i>a</i>,<i>b</i>,<i>c</i>есть два одинаковых. А оставшееся число -- другое. Составьте такое арифметическое выражение из букв<i>a</i>,<i>b</i>,<i>c</i>, знаков +, -, ×, : и скобок, чтобы в результате вычислений получилось это число. (Скобки, знаки и буквы можно использовать любое количество раз.)

<strong>Условие 2:</strong>Среди чисел<i>a</i>,<i>b</i>,<i>c</i>есть два одинаковых. А оставшееся число -- другое. Составьте такое арифметическое выражение из букв<i>a</i>,<i>b</i>,<i>c</i>, знаков +, -, ×, : и скобок, чтобы в результате вычислений получилось это число. (Скобки, знаки и буквы...

Число A положительно, В отрицательно, а C равно нулю. Каков знак числа AB+ AC+BC?

Укажите пять целых положительных чисел, сумма которых равна 20, а произведение — 420.

Решите уравнение:<div align="CENTER"> 1993 = 1 + 8 : (1 + 8 : (1 - 8 : (1 + 4 : (1 - 4 : (1 - 8 : <i>x</i>))))). </div>

Используя пять троек, арифметические действия и возведение в степень, составьте числа от 11 до 15.

Используя пять троек, арифметические действия и возведение в степень, составьте числа от 1 до 10.

<b>30 тремя одинаковыми цифрами.</b>Число 30 запишите в виде четырех различных выражений, из трех одинаковых цифр каждое. Цифры могут быть соединены знаками действий.

<b>Целое число.</b>Доказать, что если<img align="middle" src="/storage/problem-media/102793/problem_102793_img_2.gif">- целое число, то<img align="middle" src="/storage/problem-media/102793/problem_102793_img_3.gif">- тоже целое число.

Задано правило, которое каждой паре чисел <i>x</i>, <i>y</i> ставит в соответствие некоторое число <i>x*y</i>, причём для любых <i>x, y, z</i> выполняются тождества:

  1)  <i>x</i>*<i>x</i> = 0,

  2)  <i>x</i>(<i>y</i><i>z</i>) = (<i>x</i>*<i>y</i>) + <i>z</i>.

Найдите 1993*1932.

Набор чисел<var>a</var>,<var>b</var>,<var>c</var>каждую секунду заменяется на<var>a</var>+<var>b</var>−<var>c</var>,<var>b</var>+<var>c</var>−<var>a</var>,<var>c</var>+<var>a</var>−<var>b</var>. В начале имеется набор чисел 2000, 2002, 2003. Может ли через некоторое время получиться набор 2001, 2002, 2003.

Обозначим сумму трёх последовательных натуральных чисел через <i>a</i>, а сумму трёх следующих за ними чисел – через <i>b</i>.

Может ли произведение <i>ab</i> равняться 1111111111?

Чему равно произведение   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/88272/problem_88272_img_2.gif">

Попытайтесь получить миллиард (1000000000), перемножая два целых сомножителя, в каждом из которых не было бы ни одного нуля. <small>Также доступны документы в формате <a href="https://problems.ru/images/problem_88252_img_4.gif">TeX</a></small>

Найдите два числа, сумма, произведение и частное которых равны между собой.

Может ли произведение двух чисел быть меньше меньшего из сомножителей?

Представьте число 203 в виде суммы нескольких положительных слагаемых так, чтобы и произведение этих слагаемых было равно 203.

В равенстве 101 – 102 = 1 передвиньте одну цифру так, чтобы оно стало верным.

Попробуйте составить квадрат из набора палочек: 6 шт. по 1 см, 3 шт. по 2 см, 6 шт. по 3 см и 5 шт. по 4 см. Ломать палочки и накладывать одну на другую нельзя.

На линейке длиной 9 см нет делений.

Нанесите на неё три промежуточных деления так, чтобы ею можно было измерять расстояние от 1 до 9 см с точностью до 1 см.