Олимпиадные задачи по теме «Алгебраические уравнения и системы уравнений» для 8 класса - сложность 1 с решениями

Про три положительных числа известно, что если выбрать одно из них и прибавить к нему сумму квадратов двух других, то получится одна и та же сумма, независимо от выбранного числа. Верно ли, что все числа равны?

Какие значения может принимать выражение  (<i>x – y</i>)(<i>y – z</i>)(<i>z – x</i>),  если известно, что  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116451/problem_116451_img_2.gif"> ?

Коля и Вася за ноябрь получили по 15 оценок: тройки, четвёрки и пятёрки. При этом Коля получил пятёрок столько же, сколько Вася четвёрок, четвёрок столько же, сколько Вася троек, а троек столько же, сколько Вася пятёрок. Оказалось, что средний балл за ноябрь у мальчиков одинаковый. Сколько троек получил Коля в ноябре?

Купец продаёт двух коней с сёдлами, причём цена одного седла 120 рублей, а другого – 25 рублей. Первый конь с хорошим седлом втрое дороже другого с дешёвым, а другой конь с хорошим седлом вдвое дешевле первого коня с дешёвым. Какова цена каждого коня?

Карлсон написал дробь ¹⁰/₉₇. Малыш может:

  1) прибавлять любое натуральное число к числителю и знаменателю одновременно,

  2) умножать числитель и знаменатель на одно и то же натуральное число. Сможет ли Малыш с помощью этих действий получить дробь,

  а) равную ½?  б) равную 1?

Решить уравнение  [<i>x</i>³] + [<i>x</i>²] + [<i>x</i>] = {<i>x</i>} − 1.

Сто человек ответили на вопрос: "Будет ли новый президент лучше прежнего?" Из них <i>a</i> человек считают, что будет лучше, <i>b</i> – что будет такой же, и <i>c</i> – что будет хуже. Социологи построили два показателя "оптимизма" опрошенных:  <i>m = a + ^b</i>/₂  и  <i>n = a – c</i>.  Оказалось, что  <i>m</i> = 40.  Найдите <i>n</i>.

Решить уравнение  <i>x</i>⁸ + 4<i>x</i>⁴ + <i>x</i>² + 1 = 0.

В одной американской фирме каждый служащий является либо демократом, либо республиканцем. После того как один из республиканцев решил стать демократом, тех и других в фирме стало поровну. Затем ещё три республиканца решили стать демократами, и тогда демократов стало вдвое больше чем республиканцев. Сколько служащих в этой фирме?

При каких значениях <i>m</i> уравнения  <i>mx</i> – 1000 = 1001  и  1001<i>x = m</i> – 1000<i>x</i>  имеют общий корень?

Найти все значения <i>x</i> и <i>y</i>, удовлетворяющие равенству   <i>xy</i> + 1 = <i>x + y</i>.

Решить систему

   <i>x</i>₁ + 2<i>x</i>₂ + 2<i>x</i>₃ + 2<i>x</i>₄ + 2<i>x</i>₅ = 1,

   <i>x</i>₁ + 3<i>x</i>₂ + 4<i>x</i>₃ + 4<i>x</i>₄ + 4<i>x</i>₅ = 2,

   <i>x</i>₁ + 3<i>x</i>₂ + 5<i>x</i>₃ + 6<i>x</i>₄ + 6<i>x</i>₅ = 3,

   <i>x</i><sub>1&lt...

Решить систему пятнадцати уравнений с пятнадцатью неизвестными:   <i>x</i>₁<i>x</i>₂ = <i>x</i>₂<i>x</i>₃ = ... = <i>x</i>₁₄<i>x</i>₁₅ = <i>x</i>₁₅<i>x</i>₁ = 1.

Сколько действительных решений имеет система двух уравнений с тремя неизвестными:

   <i>x + y</i> = 2,

   <i>xy – z</i>² = 1 ?

Вася сложил четвёртую степень и квадрат некоторого числа, отличного от нуля, и сообщил результат Пете.

Сможет ли Петя однозначно определить Васино число?

Решить систему уравнений:

    <i>xy</i> = 1,

    <i>yz</i> = 2,

    <i>zx</i> = 8.

Решите систему уравнений

    <i>x + y + u</i> = 4,

    <i>y + u + v</i> = –5,

    <i>u + v + x</i> = 0,

    <i>v + x + y</i> = –8.

Решите систему уравнений

    5732<i>x</i> + 2134<i>y</i> + 2134<i>z</i> = 7866,

    2134<i>x</i> + 5732<i>y</i> + 2134<i>z</i> = 670,

    2134<i>x</i> + 2134<i>y</i> + 5732<i>z</i>=11464.