Олимпиадные задачи по математике для 11 класса - сложность 2 с решениями
Известно, что <i>b</i> = 2013<sup>2013</sup> + 2. Будут ли числа <i>b</i>³ + 1 и <i>b</i>² + 2 взаимно простыми?
Точка <i>А</i> лежит на окружности верхнего основания прямого кругового цилиндра (см. рис.), <i>В</i> – наиболее удалённая от неё точка на окружности нижнего основания, <i>С</i> – произвольная точка окружности нижнего основания. Найдите <i>АВ</i>, если <i>АС</i> = 12, <i>BC</i> = 5. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/116998/problem_116998_img_2.gif"></div>
Найдите наибольшее значение выражения <i>х + у</i>, если <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116997/problem_116997_img_2.gif"> <i>x</i> ∈ [0, <sup>3π</sup>/<sub>2</sub>], <i>y</i> ∈ [π, 2π].
Пусть <i>x</i><sub>1</sub>, <i>x</i><sub>2</sub>, ..., <i>x</i><sub><i>n</i></sub> – некоторые числа, принадлежащие отрезку [0, 1].
Докажите, что на этом отрезке найдется такое число <i>x</i>, что <sup>1</sup>/<sub><i>n</i></sub> (|<i>x – x</i><sub>1</sub>| + |<i>x – x</i><sub>2</sub>| + ... + |<i>x – x<sub>n</sub></i>|) = ½.
Куб с ребром <i>n</i> составлен из белых и чёрных кубиков с ребром 1 таким образом, что каждый белый кубик имеет общую грань ровно с тремя чёрными, а каждый чёрный – ровно с тремя белыми. При каких <i>n</i> это возможно?
Найдите наибольшее значение выражения <i>ab + bc + ac + abc</i>, если <i>a + b + c</i> = 12 (<i>a, b</i> и <i>с</i> – неотрицательные числа).
Отмечены вершины и середины сторон правильного десятиугольника (то есть всего отмечено 20 точек).
Сколько существует треугольников с вершинами в отмеченных точках?
Центр <i>О</i> окружности, описанной около четырёхугольника <i>АВСD</i>, лежит внутри него. Найдите площадь четырёхугольника, если ∠<i>ВАО</i> = ∠<i>DAC,
AC = m, BD = n</i>.
Дан многочлен <i>P</i>(<i>x</i>) с целыми коэффициентами. Известно, что <i>Р</i>(1) = 2013, <i>Р</i>(2013) = 1, <i>P</i>(<i>k</i>) = <i>k</i>, где <i>k</i> – некоторое целое число. Найдите <i>k</i>.
Выдающемуся бразильскому футболисту Роналдиньо Гаушо исполнится <i>X</i> лет в <i>X</i>² году.
А сколько лет ему исполнится в 2018 году, когда чемпионат мира пройдёт в России?
Известно, что tg α + tg β = <i>p</i>, ctg α + ctg β = <i>q</i>. Найдите tg(α + β).
Существуют ли четыре последовательных натуральных числа, каждое из которых можно представить в виде суммы квадратов двух натуральных чисел?
Какое наибольшее количество треугольных граней может иметь пятигранник?
Изобразите на координатной плоскости множество всех точек, координаты <i>x</i> и <i>у</i> которых удовлетворяют неравенству <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116892/problem_116892_img_2.gif"> .
Коэффициенты квадратного уравнения <i>ax</i>² + <i>bx + c</i> = 0 удовлетворяют условию 2<i>a</i> + 3<i>b</i> + 6<i>c</i> = 0.
Докажите, что это уравнение имеет корень на интервале (0, 1).
На шахматную доску поставлены 11 коней так, что никакие два не бьют друг друга.
Докажите, что на ту же доску можно поставить ещё одного коня с сохранением этого свойства.
Найдите наибольшее значение выражения <i>x</i>² + <i>y</i>², если |<i>x – y</i>| ≤ 2 и |3<i>x + y</i>| ≤ 6.
Дан правильный девятиугольник.
Сколькими способами можно выбрать три его вершины так, чтобы они являлись вершинами равнобедренного треугольника?
Через вершину <i>А</i> остроугольного треугольника <i>АВС</i> проведены касательная <i>АК</i> к его описанной окружности, а также биссектрисы <i>АN</i> и <i>AM</i> внутреннего и внешнего углов при вершине <i>А</i> (точки <i>М, K</i> и <i>N</i> лежат на прямой <i>ВС</i>). Докажите, что <i>MK = KN</i>.
Сравните: sin 3 и sin 3°.
На какую наибольшую степень двойки делится число 10<sup>20</sup> – 2<sup>20</sup>?
Середины сторон выпуклого четырёхугольника являются вершинами квадрата. Обязательно ли исходный четырёхугольник является квадратом?
Последовательность <i>a<sub>n</sub></i> задана условием: <i>a</i><sub><i>n</i>+1</sub> = <i>a<sub>n</sub> – a</i><sub><i>n</i>–1</sub>. Найдите <i>a</i><sub>100</sub>, если <i>a</i><sub>1</sub> = 3, <i>a</i><sub>2</sub> = 7.
В правильной четырёхугольной усечённой пирамиде середина <i>N</i> ребра <i>B</i><sub>1</sub><i>C</i><sub>1</sub> верхней грани <i>A</i><sub>1</sub><i>B</i><sub>1</sub><i>C</i><sub>1</sub><i>D</i><sub>1</sub> соединена с серединой <i>M</i> ребра <i>AB</i> нижней грани <i>ABCD</i>. Прямые <i>B</i><sub>1</sub><i>C</i><sub>1</sub> и <i>AB</i> не лежат в одной плоскости. Докажите, что проекции рёбер <i>B</i><sub>1</sub><i>C</i><sub>1</sub> и <i>AB</i> на прямую <i>MN</i> равн...
В десятичной записи некоторого числа цифры расположены слева направо в порядке убывания. Может ли это число быть кратным числу 111?