Олимпиадные задачи по математике - сложность 2 с решениями

Петя расставляет в вершинах куба числа 1 и –1. Андрей вычисляет произведение четырёх чисел, стоящих в вершинах каждой грани куба, и записывает его в центре этой грани. Петя утверждает, что он сможет так расставить числа, что их сумма и сумма чисел, записанных Андреем, будут противоположными. Прав ли Петя?

Даны выпуклый многогранник и сфера, которая пересекает каждое ребро многогранника в двух точках. Точки пересечения со сферой делят каждое ребро на три равных отрезка. Обязательно ли тогда все грани многогранника:

   а) равные многоугольники;

   б) правильные многоугольники?

Имеются 100 камней разного веса (одинаковых нет), к каждому приклеена этикетка с указанием его веса. Хулиган Гриша хочет переклеить этикетки так, чтобы общий вес любого набора с числом камней от 1 до 99 отличался от суммы весов, указанных на этикетках из этого набора. Всегда ли он может это сделать?

Известно, что  0 < <i>a, b, c, d</i> < 1  и  <i>abcd</i> = (1 – <i>a</i>)(1 – <i>b</i>)(1 – <i>c</i>)(1 – <i>d</i>).  Докажите, что   (<i>a + b + c + d</i>) – (<i>a + c</i>)(<i>b + d</i>) ≥ 1.

В каждой клетке секретной таблицы <i>n</i>×<i>n</i> записана одна из цифр от 1 до 9. Из них получаются <i>n</i>-значные числа, записанные в строках слева направо и в столбцах сверху вниз. Петя хочет написать такое <i>n</i>-значное число без нулей в записи, чтобы ни это число, ни оно же, записанное задом наперед, не совпадало ни с одним из 2<i>n</i> чисел в строках и столбцах таблицы. В каком наименьшем количестве клеток Петя должен для этого узнать цифры?

Имеется многоугольник. Для каждой стороны поделим её длину на сумму длин всех остальных сторон. Затем сложим все получившиеся дроби. Докажите, что полученная сумма меньше 2.

Существует ли арифметическая прогрессия из пяти различных натуральных чисел, произведение которых есть точная 2008-я степень натурального числа?

В окружность радиуса 2 вписан тридцатиугольник <i>A</i>₁<i>A</i>₂...<i>A</i>₃₀. Докажите, что на дугах <i>A</i>₁<i>A</i>₂, <i>A</i>₂<i>A</i>₃, ..., <i>A</i>₃₀<i>A</i>₁ можно отметить по одной точке (<i>B</i>₁, <i>B</i>₂, ..., <i>B</i>₃₀ соответственно) так, чтобы площадь шестидесятиугольника <i>A</i>₁<i>B</i><sub>1</sub&gt...

Даны три различных натуральных числа, одно из которых равно полусумме двух других.

Может ли произведение этих трёх чисел являться точной 2008-й степенью натурального числа?

В окружность радиуса 2 вписан остроугольный треугольник <i>A</i>₁<i>A</i>₂<i>A</i>₃. Докажите, что на дугах <i>A</i>₁<i>A</i>₂, <i>A</i>₂<i>A</i>₃, <i>A</i>₃<i>A</i>₁ можно отметить по одной точке (<i>B</i>₁, <i>B</i>₂, <i>B</i>₃ соответственно) так, чтобы площадь шестиугольника <i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>A&l...

На бумажке записаны 1 и некоторое нецелое число <i>x</i>. За один ход разрешается записать на бумажку сумму или разность каких-нибудь двух уже записанных чисел или записать число, обратное к какому-нибудь из уже записанных чисел. Можно ли за несколько ходов получить на бумажке

число <i>x</i>²?

На бумажке записаны три положительных числа <i>x, y</i> и 1. За один ход разрешается записать на бумажку сумму или разность каких-нибудь двух уже записанных чисел или записать число, обратное к какому-нибудь из уже записанных чисел. Можно ли за несколько ходов получить на бумажке

 a) число <i>x</i>²?   б) число <i>xy</i>?

Верно ли, что к любому числу, равному произведению двух последовательных натуральных чисел, можно приписать в конце какие-то две цифры так, что получится квадрат натурального числа?

Вокруг правильного семиугольника описали окружность и вписали в него окружность. То же проделали с правильным 17-угольником. В результате каждый из многоугольников оказался расположенным в своем круговом кольце. Оказалось, что площади этих колец одинаковы. Докажите, что стороны многоугольников одинаковы.

Наибольший угол остроугольного треугольника в пять раз больше наименьшего.

Найдите углы этого треугольника, если известно, что все они выражаются целым числом градусов.

На бумаге "в клеточку" нарисован выпуклый многоугольник <i>M</i>, так что все его вершины находятся в вершинах клеток и ни одна из его сторон не идёт по вертикали или горизонтали. Докажите, что сумма длин вертикальных отрезков линий сетки, заключённых внутри <i>M</i>, равна сумме длин горизонтальных отрезков линий сетки внутри <i>M</i>.

Дана треугольная пирамида <i>ABCD</i>. В ней <i>R</i> – радиус описанной сферы, <i>r</i> – радиус вписанной сферы, <i>a</i> – длина наибольшего ребра, <i>h</i> – длина наименьшей высоты (на какую-то грань). Докажите, что  ^<i>R</i>/<i>_r > ^a</i>/_<i>h</i>.

Дан треугольник <i>ABC</i>. В нём <i>R</i> – радиус описанной окружности, <i>r</i> – радиус вписанной окружности, <i>a</i> – длина наибольшей стороны, <i>h</i> – длина наименьшей высоты. Докажите, что  ^<i>R</i>/<i>_r > ^a</i>/_<i>h</i>.

Существуют 1000 последовательных натуральных чисел, среди которых нет ни одного простого числа (например,  1001! + 2,  1001! + 3, ...,   1001! + 1001).

А существуют ли 1000 последовательных натуральных чисел, среди которых ровно пять простых чисел?

Десятичная запись натурального числа <i>a</i> состоит из <i>n</i> цифр, а десятичная запись числа <i>a</i>³ состоит из <i>m</i> цифр. Может ли  <i>m + n</i>  равняться 2001?

Шесть игральных костей нанизали на спицу так, что каждая может вращаться независимо от остальных (протыкаем через центры противоположных граней). Спицу положили на стол и прочитали число, образованное цифрами на верхних гранях костей. Докажите, что можно так повернуть кости, чтобы это число делилось на 7. (На гранях стоят цифры от 1 до 6, сумма цифр на противоположных гранях равна 7.)

а) Для каждого трёхзначного числа берём произведение его цифр, а затем эти произведения, вычисленные для всех трёхзначных чисел, складываем. Сколько получится? б) Тот же вопрос для четырёхзначных чисел.

Центр круга – точка с декартовыми координатами  (<i>a, b</i>).  Известно, что начало координат лежит внутри круга. Обозначим через <i>S</i>⁺ общую площадь частей круга, состоящих из точек, обе координаты которых имеют одинаковый знак; а через <i>S</i>^– – площадь частей, состоящих из точек с координатами разных знаков. Найдите величину  <i>S</i>⁺ – <i>S</i>^–.

<i>F</i> – выпуклая фигура с двумя взаимно перпендикулярными осями симметрии. Через точку <i>M</i>, лежащую внутри фигуры и отстоящую от осей на расстояния <i>a</i> и <i>b</i>, провели прямые, параллельные осям. Эти прямые делят <i>F</i> на четыре области. Найдите разность между суммой площадей большей и меньшей из областей и суммой площадей двух других.

Докажите, что

<img align="middle" src="/storage/problem-media/98103/problem_98103_img_2.gif">