Олимпиадные задачи по математике для 8 класса - сложность 2 с решениями
Диагонали вписанного четырехугольника <i>ABCD</i> пересекаются в точке <i>K</i>.
Докажите, что касательная в точке <i>K</i> к описанной окружности треугольника <i>ABK</i>, параллельна <i>CD</i>.
Хорды <i>AC</i> и <i>BD</i> окружности пересекаются в точке <i>P</i>. Перпендикуляры к <i>AC</i> и <i>BD</i> в точках <i>C</i> и <i>D</i>, соответственно пересекаются в точке <i> Q </i>.
Докажите, что прямые <i>AB</i> и <i>PQ</i> перпендикулярны.
Середина одной из сторон треугольника и основания высот, опущенных на две другие стороны, образуют равносторонний треугольник.
Верно ли, что исходный треугольник тоже равносторонний?
Номер нынешней олимпиады (70) образован последними цифрами года её проведения, записанными в обратном порядке.
Сколько еще раз повторится такая ситуация в этом тысячелетии?
Две окружности пересекаются в точках<i> P </i>и<i> Q </i>. Третья окружность с центром в точке<i> P </i>пересекает первую в точках<i> A </i>и<i> B </i>, а вторую – в точках<i> C </i>и<i> D </i>(см.рисунок). Докажите что углы<i> AQD </i>и<i> BQC </i>равны.
Диагонали параллелограмма <i>ABCD</i> пересекаются в точке <i>O</i>. Описанная окружность треугольника <i>AOB</i> касается прямой <i>BC</i>.
Докажите, что описанная окружность треугольника <i>BOC</i> касается прямой <i>CD</i>.
Дана окружность с диаметром <i>AB</i>. Другая окружность с центром в точке <i>A</i> пересекает отрезок <i>AB</i> в точке <i>C</i>, причём <i>AC</i> < ½ <i>AB</i>. Общая касательная двух окружностей касается первой окружности в точке <i>D</i>. Докажите, что прямая <i>CD</i> перпендикулярна <i>AB</i>.
Внутри угла с вершиной <i>M</i> отмечена точка <i>A</i>. Из этой точки выпустили шар, который отразился от одной стороны угла в точке <i>B</i>, затем от другой стороны в точке <i>C</i> и вернулся в <i>A</i> ("угол падения" равен "углу отражения", см. рис.). Докажите, что центр <i>O</i> описанной окружности треугольника <i>BCM</i> лежит на прямой <i>AM</i>. (Шар считайте точкой.) <img src="/storage/problem-media/105104/problem_105104_img_2.png" width="200">
Четырёхугольник <i>ABCD</i> вписан в окружность, центр <i>O</i> которой лежит внутри него.
Доказать, что, если ∠<i>BAO</i> = ∠<i>DAC</i>, то диагонали четырёхугольника перпендикулярны.
Можно ли разрезать какой-нибудь треугольник на четыре выпуклые фигуры: треугольник, четырёхугольник, пятиугольник и шестиугольник?
Высоты <i>AA'</i> и <i>BB'</i> треугольника <i>ABC</i> пересекаются в точке <i>H</i>. Точки <i>X</i> и <i>Y</i> – середины отрезков <i>AB</i> и <i>CH</i> соответственно.
Доказать, что прямые <i>XY</i> и <i>A'B'</i> перпендикулярны.
Даны окружность $\omega$ с центром $O$ и точка $P$ внутри нее. Пусть $X$ – произвольная точка $\omega$, прямая $XP$ и окружность $XOP$ пересекают $\omega$ во второй раз в точках $X_1$, $X_2$ соответственно. Докажите, что все прямые $X_1X_2$ параллельны друг другу.
Точка $D$ лежит на основании $AB$ равнобедренного тупоугольного треугольника $ABC$ так, что отрезок $AD$ равен радиусу описанной окружности треугольника $BCD$. Найдите угол $ACD$.
Даны окружность $\omega$ и не лежащая на ней точка $P$. Пусть $ABC$ – произвольный правильный треугольник, вписанный в $\omega$, а точки $A'$, $B'$, $C'$ – проекции $P$ на прямые $BC$, $CA$, $AB$. Найдите геометрическое место центров тяжести треугольников $A'B'C'$.
В ряд записаны $n > 2$ различных ненулевых чисел, причём каждое следующее больше предыдущего на одну и ту же величину. Обратные к этим $n$ числам тоже удалось записать в ряд (возможно, в другом порядке) так, что каждое следующее больше предыдущего на одну и ту же величину (возможно, иную, чем в первом случае). Чему могло равняться $n$?
Турнир Городов проводится раз в год. Сейчас год проведения осеннего тура делится на номер турнира: 2021:43 = 47. Сколько ещё раз человечество сможет наблюдать это удивительное явление?
Цифры от 0 до 9 зашифрованы буквами A, B, C, D, E, F, G, H, I, J в каком-то порядке. За один вопрос можно узнать зашифрованную запись суммы нескольких различных букв. Например, если спросить «А + B = ?», то в случае, когда A = 9, B = 1, C = 0, ответом будет «А + В = BC». Как можно за пять таких вопросов определить, какие буквы каким цифрам соответствуют?
Участники тараканьих бегов бегут по окружности в одном направлении, стартовав одновременно из точки $S$. Таракан $A$ бежит вдвое медленнее, чем $B$, и втрое медленнее, чем $C$. Точки $X$, $Y$ на отрезке $SC$ таковы, что $SX=XY=YC$. Прямые $AX$ и $BY$ пересекаются в точке $Z$. Найдите ГМТ пересечения медиан треугольника $ZAB$.
Три богатыря бьются со Змеем Горынычем. Илья Муромец каждым своим ударом отрубает Змею половину всех голов и ещё одну, Добрыня Никитич – треть всех голов и ещё две, Алёша Попович – четверть всех голов и ещё три. Богатыри бьют по одному в каком хотят порядке, отрубая каждым ударом целое число голов. Если ни один богатырь не может ударить (число голов получается нецелым), Змей съедает всех троих. Смогут ли богатыри отрубить все головы 41!-головому Змею?
Пусть $I$ – центр вписанной окружности неравнобедренного треугольника $ABC$. Докажите, что существует единственная пара точек $M$, $N$, лежащих соответственно на сторонах $AC$, $BC$, такая, что $\angle AIM = \angle BIN$ и $MN \parallel AB$.
Пусть $AL$ — биссектриса треугольника $ABC$, точка $D$ — ее середина, $E$ — проекция $D$ на $AB$. Известно, что $AC = 3 AE$. Докажите, что треугольник $CEL$ равнобедренный.
Три богатыря сражаются со Змеем Горынычем. Илья Муромец каждым своим ударом отрубает половину всех голов и еще одну, Добрыня Никитич — треть всех голов и еще две, а Алёша Попович — четверть всех голов и еще три. Богатыри бьют по одному, в том порядке, в котором считают нужным. Если ни один богатырь не может ударить из-за того, что число голов получится нецелым, то Змей съедает богатырей. Смогут ли богатыри отрубить все головы $20^{20}$-головому Змею?
Аналитик сделал прогноз изменения курса доллара на каждый из 12 ближайших месяцев: на сколько процентов (число, большее 0% и меньшее 100%) изменится курс за октябрь, на сколько – за ноябрь, ..., на сколько – за сентябрь. Оказалось, что про каждый месяц он верно предсказал, на сколько процентов изменится курс, но ошибся с направлением изменения (то есть, если он предсказывал, что курс увеличится на $x$%, то курс падал на $x$%, и наоборот). При этом через 12 месяцев курс совпал с прогнозом. В какую сторону в итоге изменился курс?
Аналитик сделал прогноз изменения курса доллара на каждый из трёх ближайших месяцев: на сколько процентов (число, большее 0% и меньшее 100%) изменится курс за июль, на сколько – за август, и на сколько – за сентябрь. Оказалось, что про каждый месяц он верно предсказал, на сколько процентов изменится курс, но ошибся с направлением изменения (то есть если он предсказывал, что курс увеличится на $x%$, то курс падал на $x%$, и наоборот). При этом через три месяца курс совпал с прогнозом. В какую сторону в итоге изменился курс?
Правильный треугольник <i>ABC</i> вписан в окружность. Прямая <i>l</i>, проходящая через середину стороны <i>AB</i> и параллельная <i>AC</i>, пересекает дугу <i>AB</i>, не содержащую <i>C</i>, в точке <i>K</i>. Докажите, что отношение <i>AK</i> : <i>BK</i> равно отношению стороны правильного пятиугольника к его диагонали.