Олимпиадная задача по математике: равенство углов AQD и BQC, планиметрия 8-9 класс

Задача

Две окружности пересекаются в точках P и Q . Третья окружность с центром в точке P пересекает первую в точках A и B , а вторую – в точках C и D (см.рисунок). Докажите что углы AQD и BQC равны.

Решение

Обозначим AQP = α , DQP = β . Тогда

AQD = AQP + AQP = α + β.

Поскольку PA = PB = PC = PD (радиусы одной окружности), треугольники ABP и CPD – равнобедренные, поэтому

BAP = ABP = AQP = α, CDP = DCP = DQP = β.

Из вписанных четырёхугольников ABQP и CDPQ находим, что

BQP = 180^o - BAP = 180^o-α, CQP = 180^o - CDP = 180^o-β.

Следовательно,

BQC = 360^o - BQP - CQP =

=360^o - (180^o - α) - (180^o - β) = α + β = AQD.

Ответ

Ответ задачи отсутствует

Олимпиадная задача по планиметрии — равенство углов AQD и BQC, 8-9 класс

Задача

Решение

Ответ

Подтверждение удаления