Олимпиадная задача Заславского: повторение номера олимпиады в этом тысячелетии
Задача
Номер нынешней олимпиады (70) образован последними цифрами года её проведения, записанными в обратном порядке.
Сколько еще раз повторится такая ситуация в этом тысячелетии?
Решение
Пусть в каком-то году возникло описанное совпадение.
Если номер олимпиады двузначный, то его сумма с числом, образованным последними двумя цифрами года, делится на 11 (сумма двух чисел, состоящих из цифр a и b, равна 11(a + b)). Поскольку каждый год эта сумма увеличивается на 2, событие может повторяться не чаще, чем через 11 лет. И действительно, 81-я и 92-я олимпиады пройдут в 2018 и 2029 годах.
Если номер олимпиады трёхзначный, то предпоследние цифры номера и года совпадают. Поэтому предпоследней цифрой их разности может быть только 0 или 9. Но разность года проведения олимпиады и ее номера всегда будет равна 1937. Противоречие.
Если номер олимпиады четырёхзначный, то суммы цифр номера и года совпадают. Поскольку любое число даёт такой же остаток при делении на 9, что и сумма его цифр, разность года и номера должна делиться на 9. Но остаток при делении на 9 числа 1937 равен 2. Противоречие. Заметим, что и в дальнейшем такая ситуация наблюдаться не будет.
Ответ
Два раза.
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь