Задача
Участники тараканьих бегов бегут по окружности в одном направлении, стартовав одновременно из точки $S$. Таракан $A$ бежит вдвое медленнее, чем $B$, и втрое медленнее, чем $C$. Точки $X$, $Y$ на отрезке $SC$ таковы, что $SX=XY=YC$. Прямые $AX$ и $BY$ пересекаются в точке $Z$. Найдите ГМТ пересечения медиан треугольника $ZAB$.
Решение
Пусть $U$, $V$ – такие точки на прямой $AB$, что $UA=AB=BV$. Тогда прямые $US$ и $CV$ проходят через $Z$, а параллельные им прямые, проходящие через $A$ и $B$ соответственно, пересекаются в центре тяжести $M$ треугольника $ABZ$. Поскольку $UA=AS$, $VB=BC$, получаем, что $\angle AUS=\angle ASU=\angle MAB=\angle MBA$ и $\angle AMB=\angle UAS=\angle ASC=2\angle ASB=\angle AOB$. Следовательно, $M$ совпадает с $O$.
Ответ
Центр $O$ окружности, по которой бегут тараканы.
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь