Олимпиадные задачи по математике для 6-9 класса
На окружности длины 2013 отмечены 2013 точек, делящих её на равные дуги. В каждой отмеченной точке стоит фишка. Назовём <i> расстоянием</i> между двумя точками длину меньшей дуги между ними. При каком наибольшем <i>n</i> можно переставить фишки так, чтобы снова в каждой отмеченной точке было по фишке, а расстояние между любыми двумя фишками, изначально удалёнными не более чем на <i>n</i>, увеличилось?
Можно ли разбить клетчатую доску 12×12 на уголки из трёх соседних клеток так, чтобы каждый горизонтальный и каждый вертикальный ряд клеток доски пересекал одно и то же количество уголков? (Ряд пересекает уголок, если содержит хотя бы одну его клетку.)
На окружности отмечены 2012 точек, делящих её на равные дуги. Из них выбрали <i>k</i> точек и построили выпуклый <i>k</i>-угольник с вершинами
в выбранных точках. При каком наибольшем <i>k</i> могло оказаться, что у этого многоугольника нет параллельных сторон?
Через центры некоторых клеток шахматной доски 8×8 проведена замкнутая несамопересекающаяся ломаная. Каждое звено ломаной соединяет центры соседних по горизонтали, вертикали или диагонали клеток. Докажите, что в ограниченном ею многоугольнике общая площадь чёрных частей равна общей площади белых частей.
<img align="right" src="/storage/problem-media/115364/problem_115364_img_2.gif"> Назовём лестницей высоты <i>n</i> фигуру, состоящую из всех клеток квадрата <i>n</i>×<i>n</i>, лежащих не выше диагонали (на рисунке показана лестница высоты 4). Сколькими различными способами можно разбить лестницу высоты <i>n</i> на несколько прямоугольников, стороны которых идут по линиям сетки, а площади попарно различны?
В ряду из 2009 гирек вес каждой гирьки составляет целое число граммов и не превышает 1 кг. Веса каждых двух соседних гирек отличаются ровно на 1 г, а общий вес всех гирь в граммах является чётным числом. Докажите, что гирьки можно разделить на две кучки, суммы весов в которых равны.
На бесконечной в обе стороны ленте бумаги выписаны все целые числа, каждое – ровно по одному разу.
Могло ли оказаться, что между каждыми двумя числами не стоит их среднее арифметическое?
Среди натуральных чисел от 1 до 1200 выбрали 372 различных числа так, что никакие два из них не различаются на 4, 5 или 9. Докажите, что число 600 является одним из выбранных.
Можно ли во всех точках плоскости с целыми координатами записать натуральные числа так, чтобы три точки с целыми координатами лежали на одной прямой тогда и только тогда, когда записанные в них числа имели общий делитель, больший единицы?
Докажите, что из любых шести четырёхзначных чисел, взаимно простых в совокупности, всегда можно выбрать пять чисел, также взаимно простых в совокупности.
Докажите, что из произвольного множества трёхзначных чисел, включающего не менее четырёх чисел, взаимно простых в совокупности, можно выбрать четыре числа, также взаимно простых в совокупности.
Найдите все <i>x</i>, при которых уравнение <i>x</i>² + <i>y</i>² + <i>z</i>² + 2<i>xyz</i> = 1 (относительно <i>z</i>) имеет действительное решение при любом <i>y</i>.
В какое наибольшее число цветов можно раскрасить все клетки доски размера 10×10 так, чтобы в каждой строке и в каждом столбце находились клетки не более чем пяти различных цветов?
Набор чисел<i>a</i><sub>0</sub>,<i>a</i><sub>1</sub>, ...,<i>a<sub>n</sub></i>удовлетворяет условиям: <i>a</i><sub>0</sub>= 0, 0 ≤<i>a</i><sub><i>k</i>+1</sub>–<i>a<sub>k</sub></i>≤ 1 при <i>k</i>= 0, 1, ...,<i>n</i>– 1. Докажите неравенство <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/110096/problem_110096_img_2.gif">
Набор чисел <i>a</i><sub>0</sub>, <i>a</i><sub>1</sub>, ..., <i>a<sub>n</sub></i> удовлетворяет условиям: <i>a</i><sub>0</sub> = 0, <i>a</i><sub><i>k</i>+1</sub> ≥ <i>a</i><sub><i>k</i></sub> + 1 при <i>k</i> = 0, 1, ..., <i>n</i> – 1. Докажите неравенство <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/110087/problem_110087_img_2.gif">
Уголком размера<i> n</i>×<i>m </i>, где<i> m,n<img src="/storage/problem-media/110080/problem_110080_img_2.gif"></i>2, называется фигура, получаемая из прямоугольника размера<i>n</i>×<i>m</i>клеток удалением прямоугольника размера (<i>n-</i>1)×(<i>m-</i>1) клеток. Два игрока по очереди делают ходы, заключающиеся в закрашивании в уголке произвольного ненулевого количества клеток, образующих прямоугольник или квадрат. Пропускать ход или красить одну клетку дважды нельзя. Проигрывает тот, после чьего хода все клетки уголка окажутся окрашенными. Кто из игроков победит при правильной игре?
Докажите, что в любом множестве, состоящем из 117 попарно различных трёхзначных чисел, можно выбрать четыре попарно непересекающихся подмножества, суммы чисел в которых равны.
Два пирата делят добычу, состоящую из двух мешков монет и алмаза, действуя по следующим правилам. Вначале первый пират забирает себе из любого мешка несколько монет и перекладывает из этого мешка в другой такое же количество монет. Затем также поступает второй пират (выбирая мешок, из которого он берет монеты, по своему усмотрению) и т.д. до тех пор, пока можно брать монеты по этим правилам. Пирату, взявшему монеты последним, достается алмаз. Кому достанется алмаз, если каждый из пиратов старается получить его? Дайте ответ в зависимости от первоначального количества монет в мешках.
В коробке лежит полный набор костей домино. Два игрока по очереди выбирают из коробки по одной кости и выкладывают их на стол, прикладывая к уже выложенной цепочке с любой из двух сторон по правилам домино. Проигрывает тот, кто не может сделать очередной ход. Кто выиграет при правильной игре?
Ножки циркуля находятся в узлах бесконечного листа клетчатой бумаги, клетки которого – квадраты со стороной 1. Разрешается, не меняя раствора циркуля, поворотом его вокруг одной из ножек перемещать вторую ножку в другой узел на листе. Можно ли за несколько таких шагов поменять ножки циркуля местами?
Куб со стороной<i> n </i>(<i> n<img src="/storage/problem-media/109948/problem_109948_img_2.gif"></i>3) разбит перегородками на единичные кубики. Какое минимальное число перегородок между единичными кубиками нужно удалить, чтобы из каждого кубика можно было добраться до границы куба?
В последовательности натуральных чисел {<i>a<sub>n</sub></i>}, <i>n</i> = 1, 2, ..., каждое натуральное число встречается хотя бы один раз, и для любых различных <i>n</i> и <i>m</i> выполнено неравенство <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/109941/problem_109941_img_2.gif"> Докажите, что тогда |<i>a<sub>n</sub> – n</i>| < 2000000 для всех натуральных <i>n</i>.
Пусть <i>a, b</i> и <i>c</i> – попарно взаимно простые натуральные числа. Найдите все возможные значения <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/109894/problem_109894_img_2.gif">, если известно, что это число целое.
Найдите наибольшее натуральное число <i>N</i>, для которого при произвольной расстановке различных натуральных чисел от 1 до 400 в клетках квадратной таблицы 20×20 найдутся два числа, стоящих в одной строке или одном столбце, разность которых будет не меньше <i>N</i>.
В клетках таблицы 10×10 расставлены числа 1, 2, 3, ..., 100 так, что сумма любых двух соседних чисел не превосходит <i>S</i>.
Найдите наименьшее возможное значение <i>S</i>. (Числа называются соседними, если они стоят в клетках, имеющих общую сторону.)