Олимпиадная задача по планиметрии: многоугольник без параллельных сторон (9–10 класс)

   Пусть  A₁, A₂, , A₂₀₁₂  – отмеченные точки в порядке обхода (мы будем считать, что  A₂₀₁₃ = A₁,  A₂₀₁₄ = A₂).  Разобьём их на четвёрки (A₁, A₂, A₁₀₀₇, A₁₀₀₈),  (A₃, A₄, A₁₀₀₉, A₁₀₁₀),  ...,  (A₁₀₀₅, A₁₀₀₆, A₂₀₁₁, A₂₀₁₂).  Если среди выбранных k точек встретятся все точки некоторой четвёрки  (A_2i–1, A_2i, A_2i+1005, A_2i+1006),  то в полученном многоугольнике найдутся две стороны A_2i–1A_2i и A_2i+1005A_2i+1006, которые симметричны относительно центра окружности и потому параллельны. Значит, в каждой из 503 четвёрок будет отмечено не более трёх вершин, то есть  k ≤ 503· 3 = 1509.

   Пример 1509-угольника без параллельных сторон с вершинами в отмеченных точках: A₁A₂...A₁₀₀₆A₁₀₀₈A₁₀₁₀... A₂₀₁₂ (вершинами являются все точки с номерами от 1 до 1006 и все точки с чётными номерами от 2008 до 2012). Действительно, стороны A₂₀₁₂A₁, A₁A₂, ..., A₁₀₀₅A₁₀₀₆ лежат по одну сторону от диаметра A₂₀₁₂A₁₀₀₆ и потому не параллельны; аналогично, стороны  A₁₀₀₆A₁₀₀₈, ..., A₂₀₁₀A₂₀₁₂  попарно не параллельны. Наконец, малая диагональ A_jA_j+2 правильного 2012-угольника не параллельна его сторонам; значит, никакие две стороны вида A_iA_i+1 и A_jA_j+2 также не могут быть параллельными.

При  k = 1509.