Олимпиадные задачи по математике для 7-10 класса - сложность 2 с решениями
Окружность касается сторон <i>AB, BC, CD</i> параллелограмма <i>ABCD</i> в точках <i>K, L, M</i> соответственно.
Докажите, что прямая <i>KL</i> делит пополам высоту параллелограмма, опущенную из вершины <i>C</i> на <i>AB</i>.
Дан выпуклый пятиугольник. Петя выписал в тетрадь значения синусов всех его углов, а Вася – значения косинусов всех его углов. Оказалось, что среди выписанных Петей чисел нет четырёх различных. Могут ли все числа, выписанные Васей, оказаться различными?
Даны различные натуральные числа <i>a</i><sub>1</sub>, <i>a</i><sub>2</sub>, ..., <i>a</i><sub>14</sub>. На доску выписаны все 196 чисел вида <i>a<sub>k</sub></i> + <i>a<sub>l</sub></i>, где 1 ≤ <i>k</i>, <i>l</i> ≤ 14. Может ли оказаться, что для каждой комбинации из двух цифр среди написанных на доске чисел найдётся хотя бы одно число, оканчивающееся на эту комбинацию (то есть найдутся числа, оканчивающиеся на 00, 01, 02, ..., 99)?
Из клетчатого прямоугольника 9×9 вырезали 16 клеток, у которых номера горизонталей и вертикалей чётные. Разрежьте оставшуюся фигуру на несколько клетчатых прямоугольников так, чтобы среди них было как можно меньше квадратиков 1×1.
На сторонах правильного 2009-угольника отметили по точке. Эти точки являются вершинами 2009-угольника площади <i>S</i>. Каждую из отмеченных точек отразили относительно середины стороны, на которой эта точка лежит. Докажите, что 2009-угольник с вершинами в отражённых точках также имеет площадь <i>S</i>.
Диагонали выпуклого четырёхугольника <i>ABCD</i> перпендикулярны и пересекаются в точке <i>O</i>. Известно, что сумма радиусов окружностей, вписанных в треугольники <i>AOB</i> и <i>COD</i>, равна сумме радиусов окружностей, вписанных в треугольники <i>BOC</i> и <i>DOA</i>. Докажите, что
а) четырёхугольник <i>ABCD</i> – описанный;
б) четырёхугольник <i>ABCD</i> симметричен относительно одной из своих диагоналей.
В 10 коробках лежат карандаши (пустых коробок нет). Известно, что в разных коробках разное число карандашей, причём в каждой коробке все карандаши разных цветов. Докажите, что из каждой коробки можно выбрать по карандашу так, что все они будут разных цветов.
Две окружности пересекаются в точках<i> P </i>и<i> Q </i>. Третья окружность с центром в точке<i> P </i>пересекает первую в точках<i> A </i>и<i> B </i>, а вторую – в точках<i> C </i>и<i> D </i>(см.рисунок). Докажите что углы<i> AQD </i>и<i> BQC </i>равны.
Две окружности пересекаются в точках <i>P</i> и <i>Q</i>. Прямая пересекает эти окружности последовательно в точках <i>A, B, C</i> и <i>D</i>, как показано на рисунке. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/108109/problem_108109_img_2.gif"></div>Докажите, что ∠<i>APB</i>= ∠<i>CQD</i>.
Две окружности пересекаются в точках <i>A</i> и <i>B</i>. К ним проведена общая касательная, которая касается первой окружности в точке <i>C</i>, а второй – в точке <i>D</i>. Пусть <i>B</i> – ближайшая к прямой <i>CD</i> точка пересечения окружностей. Прямая <i>CB</i> второй раз пересекает вторую окружность в точке <i>E</i>. Докажите, что <i>AD</i> – биссектриса угла <i>CAE</i>.
Можно ли поверхность куба оклеить без пропусков и наложений тремя треугольниками?
На клетчатой доске размером 23×23 клетки стоят четыре фишки: в левом нижнем и в правом верхнем углах доски – по белой фишке, а в левом верхнем и в правом нижнем углах - по чёрной. Белые и чёрные фишки ходят по очереди, начинают белые. Каждым ходом одна из фишек сдвигается на любую соседнюю (по стороне) свободную клетку. Белые фишки стремятся попасть в две соседние по стороне клетки. Могут ли чёрные им помешать?
На плоскости даны три красные точки, три синие точки и ещё точка <i>O</i>, лежащая как внутри треугольника с красными вершинами, так и внутри треугольника с синими вершинами, причём расстояние от <i>O</i> до любой красной точки меньше расстояния от <i>O</i> до любой синей точки. Могут ли все красные и все синие точки лежать на одной и той же окружности?
<i>n</i> бумажных кругов радиуса 1 уложены на плоскость таким образом, что их границы проходят через одну точку, причём эта точка находится внутри области, покрытой кругами. Эта область представляет собой многоугольник с криволинейными сторонами. Найдите его периметр. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/98412/problem_98412_img_2.gif"></div>
Дан вписанный четырехугольник $ABCD$. Пусть $E=AC\cap BD$, $F=AD\cap BC$. Биссектрисы углов $AFB$ и $AEB$ пересекают $CD$ в точках $X, Y$. Докажите, что точки $A, B, X, Y$ лежат на одной окружности.
Пусть $O$ – центр описанной окружности треугольника $ABC$. На стороне $BC$ нашлись точки $X$ и $Y$ такие, что $AX=BX$ и $AY=CY$. Докажите, что окружность, описанная около треугольника $AXY$, проходит через центры описанных окружностей треугольников $AOB$ и $AOC$.
Через вершины треугольника $ABC$ проведены параллельные прямые $l_a$, $l_b$, $l_c$. Пусть прямая $a$ симметрична высоте $AH_a$ относительно $l_a$. Аналогично определяем $b$, $c$. Докажите, что $a$, $b$, $c$ пересекаются в одной точке.
Две окружности с центрами $O_1$ и $O_2$ касаются внешним образом в точке $T$. К ним проведена общая внешняя касательная, касающаяся первой окружности в точке $A$, а второй – в точке $B$. Общая касательная к окружностям, проведённая в точке $T$, пересекает прямую $AB$ в точке $M$. Пусть $AC$ – диаметр первой окружности. Докажите, что отрезки $CM$ и $AO_2$ перпендикулярны.
На плоскости отметили 30 точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой, и провели семь красных прямых, не проходящих через отмеченные точки. Могло ли случиться, что каждый отрезок, соединяющий какие-то две отмеченные точки, пересекается хоть с одной красной прямой?
Фиксированы окружность, точка <i>A</i> на ней и точка <i>K</i> вне окружности. Секущая, проходящая через <i>K</i>, пересекает окружность в точках <i>P</i> и <i>Q</i>. Докажите, что ортоцентры треугольников <i>APQ</i> лежат на фиксированной окружности.
Существуют ли такие 99 последовательных натуральных чисел, что наименьшее из них делится на 100, следующее делится на 99, третье делится на 98, ..., последнее делится на 2?
Точка <i>M</i> лежит на стороне <i>AB</i> треугольника <i>ABC, AM = a, BM = b, CM = c, c < a, c < b</i>.
Найдите наименьший радиус описанной окружности такого треугольника.
Изначально на доске записаны несколько натуральных чисел (больше одного). Затем каждую минуту на доску дописывается число, равное сумме квадратов всех уже записанных на ней чисел (так, если бы на доске изначально были записаны числа 1, 2, 2, то на первой минуте было бы дописано число 1² + 2² + 2²). Докажите, что сотое дописанное число имеет хотя бы 100 различных простых делителей.
На окружности отмечено 100 точек. Эти точки нумеруются числами от 1 до 100 в некотором порядке.
а) Докажите, что при любой нумерации точки можно разбить на пары так, чтобы отрезки, соединяющие точки в парах, не пересекались, а все суммы в парах были нечётны.
б) Верно ли, что при любой нумерации можно разбить точки на пары так, чтобы отрезки, соединяющие точки в парах, не пересекались, а все суммы в парах были чётны?
В пространстве даны три отрезка <i>A</i><sub>1</sub><i>A</i><sub>2</sub>, <i>B</i><sub>1</sub><i>B</i><sub>2</sub> и <i>C</i><sub>1</sub><i>C</i><sub>2</sub>, не лежащие в одной плоскости и пересекающиеся в одной точке <i>P</i>. Обозначим через <i>O<sub>ijk</sub></i> центр сферы, проходящей через точки <i>A<sub>i</sub>, B<sub>j</sub>, C<sub>k</sub></i> и <i>P</i>. Докажите, что прямые <i>O</i><sub>111</sub><i>O</i><sub>222</sub>, <i>O</i><sub>112</sub><i>O</i><sub>2...