Задача
На плоскости отметили 30 точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой, и провели семь красных прямых, не проходящих через отмеченные точки. Могло ли случиться, что каждый отрезок, соединяющий какие-то две отмеченные точки, пересекается хоть с одной красной прямой?
Решение
Как известно (см., например, задачу 160323), $n$ прямых разбивают плоскость максимум на $1 + \frac{n(n+1)}{2}$ областей. Значит, после проведения семи красных прямых образуется не более 29 областей. В какую-то из них попадут хотя бы две точки. Отрезок, их соединяющий не пересечёт ни одну прямую, поскольку области, очевидно, выпуклы.
Ответ
Не могло.
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет