Олимпиадные задачи по математике для 3-8 класса - сложность 2 с решениями

Окружность касается сторон <i>AB, BC, CD</i> параллелограмма <i>ABCD</i> в точках <i>K, L, M</i> соответственно.

Докажите, что прямая <i>KL</i> делит пополам высоту параллелограмма, опущенную из вершины <i>C</i> на <i>AB</i>.

Дан выпуклый пятиугольник. Петя выписал в тетрадь значения синусов всех его углов, а Вася – значения косинусов всех его углов. Оказалось, что среди выписанных Петей чисел нет четырёх различных. Могут ли все числа, выписанные Васей, оказаться различными?

Из клетчатого прямоугольника 9×9 вырезали 16 клеток, у которых номера горизонталей и вертикалей чётные. Разрежьте оставшуюся фигуру на несколько клетчатых прямоугольников так, чтобы среди них было как можно меньше квадратиков 1×1.

В 10 коробках лежат карандаши (пустых коробок нет). Известно, что в разных коробках разное число карандашей, причём в каждой коробке все карандаши разных цветов. Докажите, что из каждой коробки можно выбрать по карандашу так, что все они будут разных цветов.

Две окружности пересекаются в точках<i> P </i>и<i> Q </i>. Третья окружность с центром в точке<i> P </i>пересекает первую в точках<i> A </i>и<i> B </i>, а вторую – в точках<i> C </i>и<i> D </i>(см.рисунок). Докажите что углы<i> AQD </i>и<i> BQC </i>равны.

Две окружности пересекаются в точках <i>P</i> и <i>Q</i>. Прямая пересекает эти окружности последовательно в точках <i>A, B, C</i> и <i>D</i>, как показано на рисунке. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/108109/problem_108109_img_2.gif"></div>Докажите, что  ∠<i>APB</i>= ∠<i>CQD</i>.

Две окружности пересекаются в точках <i>A</i> и <i>B</i>. К ним проведена общая касательная, которая касается первой окружности в точке <i>C</i>, а второй – в точке <i>D</i>. Пусть <i>B</i> – ближайшая к прямой <i>CD</i> точка пересечения окружностей. Прямая <i>CB</i> второй раз пересекает вторую окружность в точке <i>E</i>. Докажите, что <i>AD</i> – биссектриса угла <i>CAE</i>.

На клетчатой доске размером 23×23 клетки стоят четыре фишки: в левом нижнем и в правом верхнем углах доски – по белой фишке, а в левом верхнем и в правом нижнем углах - по чёрной. Белые и чёрные фишки ходят по очереди, начинают белые. Каждым ходом одна из фишек сдвигается на любую соседнюю (по стороне) свободную клетку. Белые фишки стремятся попасть в две соседние по стороне клетки. Могут ли чёрные им помешать?

Дан вписанный четырехугольник $ABCD$. Пусть $E=AC\cap BD$, $F=AD\cap BC$. Биссектрисы углов $AFB$ и $AEB$ пересекают $CD$ в точках $X, Y$. Докажите, что точки $A, B, X, Y$ лежат на одной окружности.

Пусть $O$ – центр описанной окружности треугольника $ABC$. На стороне $BC$ нашлись точки $X$ и $Y$ такие, что $AX=BX$ и $AY=CY$. Докажите, что окружность, описанная около треугольника $AXY$, проходит через центры описанных окружностей треугольников $AOB$ и $AOC$.

Через вершины треугольника $ABC$ проведены параллельные прямые $l_a$, $l_b$, $l_c$. Пусть прямая $a$ симметрична высоте $AH_a$ относительно $l_a$. Аналогично определяем $b$, $c$. Докажите, что $a$, $b$, $c$ пересекаются в одной точке.

Две окружности с центрами $O_1$ и $O_2$ касаются внешним образом в точке $T$. К ним проведена общая внешняя касательная, касающаяся первой окружности в точке $A$, а второй – в точке $B$. Общая касательная к окружностям, проведённая в точке $T$, пересекает прямую $AB$ в точке $M$. Пусть $AC$ – диаметр первой окружности. Докажите, что отрезки $CM$ и $AO_2$ перпендикулярны.

На плоскости отметили 30 точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой, и провели семь красных прямых, не проходящих через отмеченные точки. Могло ли случиться, что каждый отрезок, соединяющий какие-то две отмеченные точки, пересекается хоть с одной красной прямой?

Существуют ли такие 99 последовательных натуральных чисел, что наименьшее из них делится на 100, следующее делится на 99, третье делится на 98, ..., последнее делится на 2?

Точка <i>M</i> лежит на стороне <i>AB</i> треугольника <i>ABC,  AM = a,  BM = b,  CM = c,  c < a,  c < b</i>.

Найдите наименьший радиус описанной окружности такого треугольника.

На окружности отмечено 100 точек. Эти точки нумеруются числами от 1 до 100 в некотором порядке.

  а) Докажите, что при любой нумерации точки можно разбить на пары так, чтобы отрезки, соединяющие точки в парах, не пересекались, а все суммы в парах были нечётны.

  б) Верно ли, что при любой нумерации можно разбить точки на пары так, чтобы отрезки, соединяющие точки в парах, не пересекались, а все суммы в парах были чётны?

Окружность ω касается сторон угла <i>BAC</i> в точках <i>B</i> и <i>C</i>. Прямая <i>l</i> пересекает отрезки <i>AB</i> и <i>AC</i> в точках <i>K</i> и <i>L</i> соответственно. Окружность ω пересекает <i>l</i> в точках <i>P</i> и <i>Q</i>. Точки <i>S</i> и <i>T</i> выбраны на отрезке <i>BC</i> так, что  <i>KS || AC</i>  и  <i>LT || AB</i>.  Докажите, что точки <i>P, Q, S</i> и <i>T</i> лежат на одной окружности.

В треугольнике <i>ABC</i> биссектриса <i>AL</i>, серединный перпендикуляр к стороне <i>AB</i> и высота <i>BK</i> пересекаются в одной точке. Докажите, что биссектриса <i>AL</i>, серединный перпендикуляр к <i>AC</i> и высота <i>CH</i>, также пересекаются в одной точке.

Сто натуральных чисел образуют возрастающую арифметическую прогрессию. Возможно ли, что каждые два из этих чисел взаимно просты?

Выпуклый пятиугольник <i>ABCDE</i> таков, что  <i>AB || CD,  BC || AD,  AC || DE</i>,  <i>CE</i> ⊥ <i>BC</i>.  Докажите, что <i>EC</i> – биссектриса угла <i>BED</i>.

Даны натуральные числа <i>a</i> и <i>b</i>, причём  <i>a</i> < 1000.  Докажите, что если <i>a</i>²¹ делится на <i>b</i>¹⁰, то <i>a</i>² делится на <i>b</i>.

а) Дан выпуклый четырёхугольник <i>ABCD</i>. Пусть  <i>r</i>₁ ≤ <i>r</i>₂ ≤ <i>r</i>₃ ≤ <i>r</i>₄  – взятые в порядке возрастания радиусы вписанных окружностей треугольников <i>ABC, BCD, CDA, DAB</i>. Может ли оказаться, что  <i>r</i>₄ > 2<i>r</i>₃? б) В выпуклом четырёхугольнике <i>ABCD</i> диагонали пересекаются в точке <i>E</i>. Пусть  <i>r</i>₁ ≤ <i>r</i>₂ ≤ <i>r</i>₃ ≤ <i>r</i>₄  – взятые в...