Олимпиадные задачи по математике для 8 класса - сложность 1-3 с решениями
Найдите все такие натуральные <i>k</i>, что при каждом нечётном <i>n</i> > 100 число 20<sup><i>n</i></sup> + 13<sup><i>n</i></sup> делится на <i>k</i>.
Даны десять положительных чисел, каждые два из которых различны. Докажите, что среди них найдутся либо три числа, произведение которых больше произведения каких-нибудь двух из оставшихся, либо три числа, произведение которых больше произведения каких-нибудь четырёх из оставшихся.
Целые числа <i>a</i> и <i>b</i> таковы, что при любых натуральных <i>m</i> и <i>n</i> число <i>am</i>² + <i>bn</i>² является точным квадратом. Докажите, что <i>ab</i> = 0.
Дано натуральное <i>n</i> > 1. Число <i>a > n</i>² таково, что среди чисел <i>a</i> + 1, <i>a</i> + 2, ..., <i>a + n</i> есть кратные каждого из чисел <i>n</i>² + 1, <i>n</i>² + 2, ..., <i>n</i>² + <i>n</i>.
Докажите, что <i>a > n</i><sup>4</sup> – <i>n</i>³.
В бесконечной возрастающей последовательности натуральных чисел каждое делится хотя бы на одно из чисел 1005 и 1006, но ни одно не делится на 97. Кроме того, каждые два соседних числа отличаются не более чем на <i>k</i>. При каком наименьшем <i>k</i> такое возможно?
Числа от 1 до 10 разбили на две группы так, что произведение чисел в первой группе нацело делится на произведение чисел во второй.
Какое наименьшее значение может быть у частного от деления первого произведения на второе?
Клетки квадрата50×50раскрашены в четыре цвета. Докажите, что существует клетка, с четырех сторон от которой (т.е. сверху, снизу, слева и справа) имеются клетки одного с ней цвета (не обязательно соседние с этой клеткой).
Сумма и произведение двух чисто периодических десятичных дробей – чисто периодические дроби с периодом <i>T</i>.
Докажите, что исходные дроби имеют периоды не больше <i>T</i>.
Таня задумала натуральное число <i>X</i> ≤ 100, а Саша пытается его угадать. Он выбирает пару натуральных чисел <i>M</i> и <i>N</i>, меньших 100, и задаёт вопрос: "Чему равен наибольший общий делитель <i>X + M</i> и <i>N</i>?" Докажите, что Саша может угадать Танино число, задав семь таких вопросов.
Найдите сумму <center> <img src="/storage/problem-media/109715/problem_109715_img_2.gif">
</center>
Сумма цифр в десятичной записи натурального числа<i> n </i>равна 100, а сумма цифр числа44<i>n </i>равна 800. Чему равна сумма цифр числа3<i>n </i>?
Существуют ли три натуральных числа, больших 1 и таких, что квадрат каждого из них, уменьшенный на единицу, делится на каждое из остальных?
Последовательность натуральных чисел <i>a<sub>i</sub></i> такова, что НОД(<i>a<sub>i</sub>, a<sub>j</sub></i>) = НОД(<i>i, j</i>) для всех <i>i ≠ j</i>. Докажите, что <i>a<sub>i</sub> = i</i> для всех <i>i</i> ∈ <b>N</b>.
Докажите, что для натуральных чисел <i>k, m</i> и <i>n</i> справедливо неравенство [<i>k, m</i>][<i>m, n</i>][<i>n, k</i>] ≥ [<i>k, m, n</i>]².
Даны три приведённых квадратных трехчлена: <i>P</i><sub>1</sub>(<i>x</i>), <i>P</i><sub>2</sub>(<i>x</i>) и <i>P</i><sub>3</sub>(<i>x</i>). Докажите, что уравнение |<i>P</i><sub>1</sub>(<i>x</i>)| + |<i>P</i><sub>2</sub>(<i>x</i>)| = |<i>P</i><sub>3</sub>(<i>x</i>)| имеет не более восьми корней.
Саша записывает числа 1, 2, 3, 4, 5 в каком-нибудь порядке, расставляет знаки арифметических операций «$+$», «$-$», «$\times$» и скобки и смотрит на результат полученного выражения. Например, он может получить число 8 с помощью выражения $(4 - 3) \times (2 + 5) + 1$. Может ли он получить число 123? Формировать числа из нескольких других нельзя (например, из чисел 1 и 2 нельзя составить число 12).