Олимпиадные задачи из источника «4 (2011 год)»

Илья Муромец встречает трёхголового Змея Горыныча. И начинается битва. Каждую минуту Илья отрубает Змею одну голову. С вероятностью ¼ на месте срубленной головы вырастает две новых, с вероятностью ⅓ – только одна новая голова и с вероятностью ⁵/₁₂ – ни одной головы. Змей считается побеждённым, если у него не осталось ни одной головы. Найдите вероятность того, что рано или поздно Илья победит Змея.

Рассеянный Ученый в своей лаборатории вывел одноклеточный организм, который с вероятностью 0,6 делится на два таких же организма, а с вероятностью 0,4 погибает, не оставив потомства. Найдите вероятность того, что через некоторое время у Рассеянного Ученого не останется ни одного такого организма.

Илья Муромец встречает трёхголового Змея Горыныча. Каждую минуту Илья отрубает одну голову Змею. Пусть <i>x</i> – живучесть Змея  (<i>x</i> > 0).  Вероятность <i>p_s</i> того, что на месте отрубленной головы вырастет <i>s</i> новых голов  (<i>s</i> = 0, 1, 2),  равна  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/65325/problem_65325_img_2.gif">  В течение первых 10 минут сражения Илья записывал, сколько голов вырастало на месте каждой срубленной. Получился следующий вектор:  <i>K</i> = (1, 2, 2, 1, 0, 2, 1, 0, 1, 2).  Найдите такое значение живучести Змея, при котором вероятность вектора <i>K</i> наибольшая.

По свистку учителя физкультуры все 10 мальчиков и 7 девочек выстроились в шеренгу в случайном порядке – кто куда успел.

Найдите математическое ожидание величины "Число девочек, стоящих левее всех мальчиков".

  На шкуре у Носорога складки – вертикальные и горизонтальные. Если у Носорога на левом боку <i>a</i> вертикальных, <i>b</i> горизонтальных складок, а на правом – <i>c</i> вертикальных и <i>d</i> горизонтальных, будем говорить, что это Носорог в состоянии  (<i>abcd</i>)  или просто Носорог  (<i>abcd</i>).

  Если Носорог чешется каким-то боком о баобаб вверх-вниз, и у Носорога на этом боку есть две горизонтальные складки, то эти две горизонтальные складки разглаживаются. Если двух таких складок нет, то ничего не происходит.

  Аналогично если Носорог чешется боком вперед-назад, и на этом боку есть две вертикальные складки, то они разглаживаются, если же таких двух складок не найдётся, то ничего не происходит.

  Е...

  У короля Артура два одинаково мудрых советника — Мерлин и Персифаль. Каждый из них находит верный ответ на любой вопрос с вероятностью <i>p</i> или неверный ответ – с вероятностью  <i>q</i> = 1 – <i>p</i>.

  Если оба советника говорят одно и то же, король слушается их. Если они говорят противоположное, то король выбирает решение, подбрасывая монету.

  Однажды Артур задумался – зачем ему два советника, не хватит ли одного? Тогда король позвал советников и сказал:

  – Мне кажется, что вероятность принятия верных решений не уменьшится, если оставлю одного советника и буду его слушаться. Если это так, я должен уволить одного из вас. Если это не так, я оставлю все, как есть. Ответьте мне, должен ли я уволить одного из вас?

  – Кого именно ты собира...

Точку <i>O</i>, лежащую внутри треугольника <i>ABC</i>, соединили отрезками с вершинами треугольника. Докажите, что дисперсия набора углов <i>AOB, AOC</i> и <i>BOC</i> меньше чем

  а) ^10π²/₂₇;

  б) ^2π²/₉.

Муха двигается из начала координат только вправо или вверх по линиям целочисленной сетки (монотонное блуждание). В каждом узле сетки муха случайным образом выбирает направление дальнейшего движения: вверх или вправо.

  а) Докажите, что рано или поздно муха достигнет точки с абсциссой 2011.

  б) Найдите математическое ожидание ординаты Мухи в момент, когда муха достигла абсциссы 2011.

Знатоки и Телезрители играют в "Что? Где? Когда" до шести побед – кто первый выиграл шесть раундов, тот и победил в игре. Вероятность выигрыша Знатоков в одном раунде равна 0,6, ничьих не бывает. Сейчас Знатоки проигрывают со счетом  3 : 4.  Найдите вероятность того, что Знатоки все же выиграют.

В числовом наборе <i>n</i> чисел, причём одно из чисел равно 0, а другое равно 1.

  а) Какова наименьшая возможная дисперсия такого набора чисел?

  б) Каким для этого должен быть набор?

Муха ползёт из начала координат. При этом муха двигается только по линиям целочисленной сетки вправо или вверх (монотонное блуждание). В каждом узле сетки муха случайным образом выбирает направление дальнейшего движения: вверх или вправо. Найдите вероятность того, что в какой-то момент:

 а) муха окажется в точке  (8, 10);

  б) муха окажется в точке  (8, 10),  по дороге пройдя по отрезку, соединяющему точки  (5,6)  и  (6. 6);

  в) муха окажется в точке  (8, 10),  пройдя внутри круга радиуса 3 с центром в точке  (4, 5). <div align="center"><img align="middle" src="/storage/problem-media/65317/problem_65317_img_2.png"></div>

Рассеянный Ученый сконструировал прибор, состоящий из датчика и передатчика. Средний срок (математическое ожидание) службы датчика 3 года, средний срок службы передатчика 5 лет. Зная распределения срока службы датчика и передатчика, Рассеянный Ученый вычислил, что средний срок службы всего прибора равен 3 года 8 месяцев. Не ошибся ли Рассеянный Ученый в своих расчетах?

40% приверженцев некоторой политической партии являются женщинами. 70% приверженцев этой партии – городские жители. При этом 60% горожан, поддерживающих партию, – мужчины. Являются ли независимыми события "приверженец партии – горожанин" и "приверженец партии – женщина"?

Митя собирается согнуть квадратный лист бумаги <i>ABCD</i>. Митя называет сгиб <i>красивым</i>, если сторона <i>AB</i> пересекает сторону <i>CD</i> и четыре получившихся прямоугольных треугольника равны. Перед этим Ваня выбирает на листе случайную точку <i>F</i>. Найдите вероятность того, что Митя сможет сделать красивый сгиб, проходящий через точку <i>F</i>.

В городе, где живет Рассеянный Ученый, телефонные номера состоят из 7 цифр. Ученый легко запоминает телефонный номер, если этот номер палиндром, то есть он одинаково читается слева направо и справа налево. Например, номер 4435344 Ученый запоминает легко, потому что этот номер палиндром. А номер 3723627 не палиндром, поэтому Ученый такой номер запоминает с трудом. Найдите вероятность того, что телефонный номер нового случайного знакомого Ученый запомнит легко.

В числовом наборе 100 чисел. Если выкинуть одно число, то медиана оставшихся чисел будет равна 78. Если выкинуть другое число, то медиана оставшихся чисел будет 66. Найдите медиану всего набора.