Олимпиадные задачи из источника «4 (2011 год)» - сложность 2 с решениями

Знатоки и Телезрители играют в "Что? Где? Когда" до шести побед – кто первый выиграл шесть раундов, тот и победил в игре. Вероятность выигрыша Знатоков в одном раунде равна 0,6, ничьих не бывает. Сейчас Знатоки проигрывают со счетом  3 : 4.  Найдите вероятность того, что Знатоки все же выиграют.

В числовом наборе <i>n</i> чисел, причём одно из чисел равно 0, а другое равно 1.

  а) Какова наименьшая возможная дисперсия такого набора чисел?

  б) Каким для этого должен быть набор?

Муха ползёт из начала координат. При этом муха двигается только по линиям целочисленной сетки вправо или вверх (монотонное блуждание). В каждом узле сетки муха случайным образом выбирает направление дальнейшего движения: вверх или вправо. Найдите вероятность того, что в какой-то момент:

 а) муха окажется в точке  (8, 10);

  б) муха окажется в точке  (8, 10),  по дороге пройдя по отрезку, соединяющему точки  (5,6)  и  (6. 6);

  в) муха окажется в точке  (8, 10),  пройдя внутри круга радиуса 3 с центром в точке  (4, 5). <div align="center"><img align="middle" src="/storage/problem-media/65317/problem_65317_img_2.png"></div>

Рассеянный Ученый сконструировал прибор, состоящий из датчика и передатчика. Средний срок (математическое ожидание) службы датчика 3 года, средний срок службы передатчика 5 лет. Зная распределения срока службы датчика и передатчика, Рассеянный Ученый вычислил, что средний срок службы всего прибора равен 3 года 8 месяцев. Не ошибся ли Рассеянный Ученый в своих расчетах?

40% приверженцев некоторой политической партии являются женщинами. 70% приверженцев этой партии – городские жители. При этом 60% горожан, поддерживающих партию, – мужчины. Являются ли независимыми события "приверженец партии – горожанин" и "приверженец партии – женщина"?

Митя собирается согнуть квадратный лист бумаги <i>ABCD</i>. Митя называет сгиб <i>красивым</i>, если сторона <i>AB</i> пересекает сторону <i>CD</i> и четыре получившихся прямоугольных треугольника равны. Перед этим Ваня выбирает на листе случайную точку <i>F</i>. Найдите вероятность того, что Митя сможет сделать красивый сгиб, проходящий через точку <i>F</i>.

В городе, где живет Рассеянный Ученый, телефонные номера состоят из 7 цифр. Ученый легко запоминает телефонный номер, если этот номер палиндром, то есть он одинаково читается слева направо и справа налево. Например, номер 4435344 Ученый запоминает легко, потому что этот номер палиндром. А номер 3723627 не палиндром, поэтому Ученый такой номер запоминает с трудом. Найдите вероятность того, что телефонный номер нового случайного знакомого Ученый запомнит легко.

В числовом наборе 100 чисел. Если выкинуть одно число, то медиана оставшихся чисел будет равна 78. Если выкинуть другое число, то медиана оставшихся чисел будет 66. Найдите медиану всего набора.