Олимпиадные задачи из источника «2016-2017» для 11 класса

Дан выпуклый четырёхугольник <i>ABCD</i>. Обозначим через <i>I_A, I_B, I_C</i> и <i>I_D</i> центры вписанных окружностей ω_<i>A</i>, ω_<i>B</i>, ω_<i>C</i> и ω_<i>D</i> треугольников <i>DAB, ABC, BCD</i> и <i>CDA</i> соответственно. Оказалось, что  ∠<i>BI_AA</i> + ∠<i>I_CI_AI_D</i> = 180°.  Докажите, что  ∠<i>BI_BA</i> + ∠<i>I_CI<sub>...

Изначально на доске написано натуральное число <i>N</i>. В любой момент Миша может выбрать число  <i>a</i> > 1  на доске, стереть его и дописать все натуральные делители <i>a</i>, кроме него самого (на доске могут появляться одинаковые числа). Через некоторое время оказалось, что на доске написано <i>N</i>² чисел. При каких <i>N</i> это могло случиться?

В некоторых клетках квадрата 200×200 стоит по одной фишке – красной или синей; остальные клетки пусты. Одна фишка <i>видит</i> другую, если они находятся в одной строке или одном столбце. Известно, что каждая фишка видит ровно пять фишек другого цвета (и, возможно, некоторое количество фишек своего цвета). Найдите наибольшее возможное количество фишек.

У фокусника и помощника есть колода с картами; одна сторона ("рубашка") у всех карт одинакова, а другая окрашена в один из 2017 цветов (в колоде по 1000000 карт каждого цвета). Фокусник и помощник собираются показать следующий фокус. Фокусник выходит из зала, а зрители выкладывают на стол в ряд  <i>n</i> > 1  карт рубашками вниз. Помощник смотрит на эти карты, а затем все, кроме одной, переворачивает рубашкой вверх, не меняя их порядка. Затем входит фокусник, смотрит на стол, указывает на одну из закрытых карт и называет её цвет. При каком наименьшем <i>k</i> фокусник может заранее договориться с помощником так, чтобы фокус гарантированно удался?

Число <i>x</i> таково, что обе суммы  <i>S</i> = sin 64<i>x</i> + sin 65<i>x</i>  и  <i>C</i> = cos 64<i>x</i> + cos 65<i>x</i>  – рациональные числа.

Докажите, что в одной из этих сумм оба слагаемых рациональны.

Неравнобедренный треугольник <i>ABC</i> вписан в окружность с центром <i>O</i> и описан около окружности с центром <i>I</i>. Точка <i>B'</i>, симметричная точке B относительно прямой <i>OI</i>, лежит внутри угла <i>ABI</i>. Докажите, что касательные к описанной окружности треугольника <i>BB'I</i>, проведённые в точках <i>B'</i> и <i>I</i>, пересекаются на прямой <i>AC</i>.

Пусть <i>P</i>(<i>x</i>) – многочлен степени  <i>n</i> ≥ 2  с неотрицательными коэффициентами, а <i>a, b</i> и <i>c</i> – длины сторон некоторого остроугольного треугольника.

Докажите, что числа  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/66160/problem_66160_img_2.gif">  также являются длинами сторон некоторого остроугольного треугольника.

На доске выписаны в ряд <i>n</i> положительных чисел <i>a</i>₁, <i>a</i>₂, ..., <i>a_n</i>. Вася хочет выписать под каждым числом <i>a_i</i> число  <i>b_i ≥ a_i</i>  так, чтобы для каждых двух из чисел <i>b</i>₁, <i>b</i>₂, ..., <i>b_n</i> отношение одного из них к другому было целым. Докажите, что Вася может выписать требуемые числа так, чтобы выполнялось неравенство  <i>b</i>₁<i>b</i>₂...<i>b<sub>n</...

Остроугольный равнобедренный треугольник <i>ABC</i>  (<i>AB = AC</i>)  вписан в окружность с центром <i>O</i>. Лучи <i>BO</i> и <i>CO</i> пересекают стороны <i>AC</i> и <i>AB</i> в точках <i>B'</i> и <i>C'</i> соответственно. Через точку <i>C'</i> проведена прямая <i>l</i>, параллельная прямой <i>AC</i>. Докажите, что прямая <i>l</i> касается описанной окружности ω треугольника <i>B'OC</i>.

На координатной плоскости нарисованы графики двух приведённых квадратных трёхчленов и две непараллельные прямые <i>l</i>₁ и <i>l</i>₂. Известно, что отрезки, высекаемые графиками на <i>l</i>₁, равны, и отрезки, высекаемые графиками на <i>l</i>₂, также равны. Докажите, что графики трёхчленов совпадают.

Существует ли такая бесконечная возрастающая последовательность <i>a</i>₁, <i>a</i>₂, <i>a</i>₃, ... натуральных чисел, что сумма любых двух различных членов последовательности взаимно проста с суммой любых трёх различных членов последовательности?

Изначально на стол кладут 100 карточек, на каждой из которых записано по натуральному числу; при этом среди них ровно 28 карточек с нечётными числами. Затем каждую минуту проводится следующая процедура. Для каждых 12 карточек, лежащих на столе, вычисляется произведение записанных на них чисел, все эти произведения складываются, и полученное число записывается на новую карточку, которая добавляется к лежащим на столе. Можно ли выбрать исходные 100 чисел так, что для любого натурального <i>d</i> на столе рано или поздно появится карточка с числом, кратным 2^<i>d</i>?

На плоскости проведено несколько прямых, никакие две из которых не параллельны и никакие три не проходят через одну точку. Докажите, что в областях, на которые прямые поделили плоскость, можно расставить положительные числа так, чтобы суммы чисел по обе стороны каждой из проведённых прямых были равны.

Четырёхугольник <i>ABCD</i> вписан в окружность Г c центром в точке <i>O</i>. Его диагонали <i>AC</i> и <i>BD</i> перпендикулярны и пересекаются в точке P, причём точка <i>O</i> лежит внутри треугольника <i>BPC</i>. На отрезке <i>BO</i> выбрана точка <i>H</i> так, что  ∠<i>BHP</i> = 90°.  Описанная окружность ω треугольника <i>PHD</i> вторично пересекает отрезок <i>PC</i> в точке <i>Q</i>. Докажите, что  <i>AP = CQ</i>.

Окружность ω описана около остроугольного треугольника <i>ABC</i>. На стороне <i>AB</i> выбрана точка <i>D</i>, а на стороне <i>BC</i> – точка <i>E</i> так, что  <i>DE || AC</i>.  Точки <i>P</i> и <i>Q</i> на меньшей дуге <i>AC</i> окружности ω таковы, что  <i>DP || EQ</i>.  Лучи <i>QA</i> и <i>PC</i> пересекают прямую <i>DE</i> в точках <i>X</i> и <i>Y</i> соответственно. Докажите, что  ∠<i>XBY</i> + ∠<i>PBQ</i> = 180°.

Изначально на стол положили 100 карточек, на каждой из которых записано по натуральному числу; при этом было ровно 43 карточки с нечётными числами. Затем каждую минуту проводилась следующая процедура. Для каждых трёх карточек, лежащих на столе, вычислялось произведение записанных на них чисел, все эти произведения складывались, и полученное число записывалось на новую карточку, которая добавлялась к лежащим на столе. Через год после начала процесса выяснилось, что на столе есть карточка с числом, кратным 2¹⁰⁰⁰⁰. Докажите, что число, кратное 2¹⁰⁰⁰⁰, было на одной из карточек уже через день после начала.

Выпуклый многоугольник разрезан непересекающимися диагоналями на равнобедренные треугольники.

Докажите, что в этом многоугольнике найдутся две равные стороны.

Олег нарисовал пустую таблицу 50×50 и написал сверху от каждого столбца и слева от каждой строки по числу. Оказалось, что все 100 написанных чисел различны, причём 50 из них рациональные, а остальные 50 – иррациональные. Затем в каждую клетку таблицы он записал произведение чисел, написанных около её строки и её столбца ("таблица умножения"). Какое наибольшее количество произведений в этой таблице могли оказаться рациональными числами?

Равносторонний треугольник <i>ABC</i> вписан в окружность Ω и описан вокруг окружности ω. На сторонах <i>AC</i> и <i>AB</i> выбраны точки <i>P</i> и <i>Q</i> соответственно так, что отрезок <i>PQ</i> проходит через центр <i>O</i> треугольника <i>ABC</i>. Окружности Г_<i>b</i> и Г_<i>c</i> построены на отрезках <i>BP</i> и <i>CQ</i> как на диаметрах.

Докажите, что окружности Г_<i>b</i> и Г_<i>c</i> пересекаются в двух точках, одна из которых лежит на Ω, а другая – на ω.

В произведении семи натуральных чисел каждый сомножитель уменьшили на 3. Могло ли произведение при этом увеличиться ровно в 13 раз?

Изначально на доске записаны несколько натуральных чисел (больше одного). Затем каждую минуту на доску дописывается число, равное сумме квадратов всех уже записанных на ней чисел (так, если бы на доске изначально были записаны числа 1, 2, 2, то на первой минуте было бы дописано число  1² + 2² + 2²). Докажите, что сотое дописанное число имеет хотя бы 100 различных простых делителей.

Олег нарисовал пустую таблицу 50×50 и написал сверху от каждого столбца и слева от каждой строки по ненулевому числу. Оказалось, что все 100 написанных чисел различны, причём 50 из них рациональные, а остальные 50 – иррациональные. Затем в каждую клетку таблицы он записал произведение чисел, написанных около её строки и её столбца ("таблица умножения"). Какое наибольшее количество произведений в этой таблице могли оказаться рациональными числами?

Учитель собирается дать детям задачу следующего вида. Он сообщит им, что он задумал многочлен <i>P</i>(<i>x</i>) степени 2017 с целыми коэффициентами, старший коэффициент которого равен 1. Затем он сообщит им <i>k</i> целых чисел <i>n</i>₁, <i>n</i>₂, ..., <i>n_k</i> и отдельно сообщит значение выражения  <i>P</i>(<i>n</i>₁)<i>P</i>(<i>n</i>₂)...<i>P</i>(<i>n_k</i>).  По этим данным дети должны найти многочлен, который мог бы задумать учитель. При каком наименьшем <i>k</i> учитель сможет составить задач...

Паша выбрал 2017 (не обязательно различных) натуральных чисел <i>a</i>₁, <i>a</i>₂, ..., <i>a</i>₂₀₁₇ и играет сам с собой в следующую игру. Изначально у него есть неограниченный запас камней и 2017 больших пустых коробок. За один ход Паша добавляет в любую коробку (по своему выбору) <i>a</i>₁ камней, в любую из оставшихся коробок (по своему выбору) – <i>a</i>₂ камней, ..., наконец, в оставшуюся коробку – <i>a</i>₂₀₁₇ камней. Пашина цель – добиться того, чтобы после некоторого хода во всех коробках стало поровну камней. Мог ли он выбрать числа так, чтобы цели можно было добиться за 4...

Окружность с центром <i>I</i> вписана в четырёхугольник <i>ABCD</i>. Лучи <i>BA</i> и <i>CD</i> пересекаются в точке <i>P</i>, а лучи <i>AD</i> и <i>BC</i> пересекаются в точке <i>Q</i>. Известно, что точка <i>P</i> лежит на описанной окружности ω треугольника <i>AIC</i>. Докажите, что точка <i>Q</i> тоже лежит на окружности ω.