Олимпиадные задачи из источника «Региональный этап»

Изначально на стол кладут 100 карточек, на каждой из которых записано по натуральному числу; при этом среди них ровно 28 карточек с нечётными числами. Затем каждую минуту проводится следующая процедура. Для каждых 12 карточек, лежащих на столе, вычисляется произведение записанных на них чисел, все эти произведения складываются, и полученное число записывается на новую карточку, которая добавляется к лежащим на столе. Можно ли выбрать исходные 100 чисел так, что для любого натурального <i>d</i> на столе рано или поздно появится карточка с числом, кратным 2^<i>d</i>?

На плоскости проведено несколько прямых, никакие две из которых не параллельны и никакие три не проходят через одну точку. Докажите, что в областях, на которые прямые поделили плоскость, можно расставить положительные числа так, чтобы суммы чисел по обе стороны каждой из проведённых прямых были равны.

Четырёхугольник <i>ABCD</i> вписан в окружность Г c центром в точке <i>O</i>. Его диагонали <i>AC</i> и <i>BD</i> перпендикулярны и пересекаются в точке P, причём точка <i>O</i> лежит внутри треугольника <i>BPC</i>. На отрезке <i>BO</i> выбрана точка <i>H</i> так, что  ∠<i>BHP</i> = 90°.  Описанная окружность ω треугольника <i>PHD</i> вторично пересекает отрезок <i>PC</i> в точке <i>Q</i>. Докажите, что  <i>AP = CQ</i>.

Окружность ω описана около остроугольного треугольника <i>ABC</i>. На стороне <i>AB</i> выбрана точка <i>D</i>, а на стороне <i>BC</i> – точка <i>E</i> так, что  <i>DE || AC</i>.  Точки <i>P</i> и <i>Q</i> на меньшей дуге <i>AC</i> окружности ω таковы, что  <i>DP || EQ</i>.  Лучи <i>QA</i> и <i>PC</i> пересекают прямую <i>DE</i> в точках <i>X</i> и <i>Y</i> соответственно. Докажите, что  ∠<i>XBY</i> + ∠<i>PBQ</i> = 180°.

Изначально на стол положили 100 карточек, на каждой из которых записано по натуральному числу; при этом было ровно 43 карточки с нечётными числами. Затем каждую минуту проводилась следующая процедура. Для каждых трёх карточек, лежащих на столе, вычислялось произведение записанных на них чисел, все эти произведения складывались, и полученное число записывалось на новую карточку, которая добавлялась к лежащим на столе. Через год после начала процесса выяснилось, что на столе есть карточка с числом, кратным 2¹⁰⁰⁰⁰. Докажите, что число, кратное 2¹⁰⁰⁰⁰, было на одной из карточек уже через день после начала.

Выпуклый многоугольник разрезан непересекающимися диагоналями на равнобедренные треугольники.

Докажите, что в этом многоугольнике найдутся две равные стороны.

Олег нарисовал пустую таблицу 50×50 и написал сверху от каждого столбца и слева от каждой строки по числу. Оказалось, что все 100 написанных чисел различны, причём 50 из них рациональные, а остальные 50 – иррациональные. Затем в каждую клетку таблицы он записал произведение чисел, написанных около её строки и её столбца ("таблица умножения"). Какое наибольшее количество произведений в этой таблице могли оказаться рациональными числами?

Равносторонний треугольник <i>ABC</i> вписан в окружность Ω и описан вокруг окружности ω. На сторонах <i>AC</i> и <i>AB</i> выбраны точки <i>P</i> и <i>Q</i> соответственно так, что отрезок <i>PQ</i> проходит через центр <i>O</i> треугольника <i>ABC</i>. Окружности Г_<i>b</i> и Г_<i>c</i> построены на отрезках <i>BP</i> и <i>CQ</i> как на диаметрах.

Докажите, что окружности Г_<i>b</i> и Г_<i>c</i> пересекаются в двух точках, одна из которых лежит на Ω, а другая – на ω.

В произведении семи натуральных чисел каждый сомножитель уменьшили на 3. Могло ли произведение при этом увеличиться ровно в 13 раз?

Изначально на доске записаны несколько натуральных чисел (больше одного). Затем каждую минуту на доску дописывается число, равное сумме квадратов всех уже записанных на ней чисел (так, если бы на доске изначально были записаны числа 1, 2, 2, то на первой минуте было бы дописано число  1² + 2² + 2²). Докажите, что сотое дописанное число имеет хотя бы 100 различных простых делителей.

Олег нарисовал пустую таблицу 50×50 и написал сверху от каждого столбца и слева от каждой строки по ненулевому числу. Оказалось, что все 100 написанных чисел различны, причём 50 из них рациональные, а остальные 50 – иррациональные. Затем в каждую клетку таблицы он записал произведение чисел, написанных около её строки и её столбца ("таблица умножения"). Какое наибольшее количество произведений в этой таблице могли оказаться рациональными числами?

Учитель собирается дать детям задачу следующего вида. Он сообщит им, что он задумал многочлен <i>P</i>(<i>x</i>) степени 2017 с целыми коэффициентами, старший коэффициент которого равен 1. Затем он сообщит им <i>k</i> целых чисел <i>n</i>₁, <i>n</i>₂, ..., <i>n_k</i> и отдельно сообщит значение выражения  <i>P</i>(<i>n</i>₁)<i>P</i>(<i>n</i>₂)...<i>P</i>(<i>n_k</i>).  По этим данным дети должны найти многочлен, который мог бы задумать учитель. При каком наименьшем <i>k</i> учитель сможет составить задач...

Паша выбрал 2017 (не обязательно различных) натуральных чисел <i>a</i>₁, <i>a</i>₂, ..., <i>a</i>₂₀₁₇ и играет сам с собой в следующую игру. Изначально у него есть неограниченный запас камней и 2017 больших пустых коробок. За один ход Паша добавляет в любую коробку (по своему выбору) <i>a</i>₁ камней, в любую из оставшихся коробок (по своему выбору) – <i>a</i>₂ камней, ..., наконец, в оставшуюся коробку – <i>a</i>₂₀₁₇ камней. Пашина цель – добиться того, чтобы после некоторого хода во всех коробках стало поровну камней. Мог ли он выбрать числа так, чтобы цели можно было добиться за 4...

Окружность с центром <i>I</i> вписана в четырёхугольник <i>ABCD</i>. Лучи <i>BA</i> и <i>CD</i> пересекаются в точке <i>P</i>, а лучи <i>AD</i> и <i>BC</i> пересекаются в точке <i>Q</i>. Известно, что точка <i>P</i> лежит на описанной окружности ω треугольника <i>AIC</i>. Докажите, что точка <i>Q</i> тоже лежит на окружности ω.

В произведении пяти натуральных чисел каждый сомножитель уменьшили на 3. Могло ли произведение при этом увеличиться ровно в 15 раз?

В остроугольном треугольнике <i>ABC</i> проведены медиана <i>AM</i> и высота <i>BH</i>. Перпендикуляр, восстановленный в точке <i>M</i> к прямой <i>AM</i>, пересекает луч <i>HB</i> в точке <i>K</i>. Докажите, что если  ∠<i>MAC</i> = 30°,  то  <i>AK = BC</i>.

Олег нарисовал пустую таблицу 50×50 и написал сверху от каждого столбца и слева от каждой строки по числу. Оказалось, что все 100 написанных чисел различны, причём 50 из них рациональные, а остальные 50 – иррациональные. Затем в каждую клетку таблицы он записал сумму чисел, написанных около её строки и её столбца ("таблица сложения"). Какое наибольшее количество сумм в этой таблице могли оказаться рациональными числами?

Равносторонний треугольник <i>ABC</i> вписан в окружность Ω и описан вокруг окружности ω. На сторонах <i>AC</i> и <i>AB</i> выбраны точки <i>P</i> и <i>Q</i> соответственно так, что отрезок <i>PQ</i> касается ω. Окружность Ω_<i>b</i> с центром <i>P</i> проходит через вершину <i>B</i>, а окружность Ω_<i>c</i> с центром <i>Q</i> – через <i>C</i>. Докажите, что окружности Ω, Ω_<i>b</i> и Ω_<i>c</i> имеют общую точку.

Существует ли треугольник, для сторон <i>x, y, z</i> которого выполнено соотношение  <i>x</i>³ + <i>y</i>³ + <i>z</i>³ = (<i>x + y</i>)(<i>y + z</i>)(<i>z + x</i>)?

Вася задумал восемь клеток шахматной доски, никакие две из которых не лежат в одной строке или в одном столбце. За ход Петя выставляет на доску восемь ладей, не бьющих друг друга, а затем Вася указывает все ладьи, стоящие на задуманных клетках. Если количество ладей, указанных Васей на этом ходе, чётно (то есть 0, 2, 4, 6 или 8), то Петя выигрывает; иначе все фигуры снимаются с доски и Петя делает следующий ход. За какое наименьшее число ходов Петя сможет гарантированно выиграть?

В произведении трёх натуральных чисел каждый сомножитель уменьшили на 3. Могло ли произведение при этом увеличиться ровно на 2016?