Задача
Олег нарисовал пустую таблицу 50×50 и написал сверху от каждого столбца и слева от каждой строки по ненулевому числу. Оказалось, что все 100 написанных чисел различны, причём 50 из них рациональные, а остальные 50 – иррациональные. Затем в каждую клетку таблицы он записал произведение чисел, написанных около её строки и её столбца ("таблица умножения"). Какое наибольшее количество произведений в этой таблице могли оказаться рациональными числами?
Решение
Оценка. То, что в таблице не более 1250 рациональных чисел доказывается так же, как в задаче 166016 (поскольку произведение ненулевого рационального и иррационального чисел иррационально).
Пример, когда рациональных чисел ровно 1250. Поставим вдоль левой стороны числа 1, 2, ..., 24, 25, 
а вдоль верхней – числа 26, 27, ..., 49, 50, 
Тогда иррациональными будут только 2·25² = 1250 произведений рационального и иррационального чисел.
Ответ
1250 произведений.
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь