Олимпиадные задачи из источника «2012-2013» - сложность 3 с решениями

Фигура <i>мамонт</i> бьёт как слон (по диагоналям), но только в трёх направлениях из четырёх (отсутствующее направление может быть разным для разных мамонтов). Какое наибольшее число не бьющих друг друга мамонтов можно расставить на шахматной доске 8×8?

Найдите все такие натуральные <i>k</i>, что при каждом нечётном  <i>n</i> > 100  число  20^<i>n</i> + 13^<i>n</i>  делится на <i>k</i>.

Три попарно непересекающиеся окружности ω_<i>x</i>, ω_<i>y</i>, ω_<i>z</i> радиусов <i>r_x, r_y, r_z</i> лежат по одну сторону от прямой <i>t</i> и касаются её в точках <i>X, Y, Z</i> соответственно. Известно, что <i>Y</i> – середина отрезка <i>XZ</i>,  <i>r_x = r_z = r</i>,  а  <i>r_y > r</i>.  Пусть <i>p</i> – одна из общих внутренних касательных к окружностям ω_<i>x</i> и ω_<i>y</i>, а <i&g...

В окружность Ω вписан остроугольный треугольник <i>ABC</i>, в котором  <i>AB > BC</i>.  Пусть <i>P</i> и <i>Q</i> – середины меньшей и большей дуг <i>AC</i> окружности Ω, соответственно, а <i>M</i> – основание перпендикуляра, опущенного из точки <i>Q</i> на отрезок <i>AB</i>. Докажите, что описанная окружность треугольника <i>BMC</i> делит пополам отрезок <i>BP</i>.

На окружности длины 2013 отмечены 2013 точек, делящих её на равные дуги. В каждой отмеченной точке стоит фишка. Назовём <i> расстоянием</i> между двумя точками длину меньшей дуги между ними. При каком наибольшем <i>n</i> можно переставить фишки так, чтобы снова в каждой отмеченной точке было по фишке, а расстояние между любыми двумя фишками, изначально удалёнными не более чем на <i>n</i>, увеличилось?

К двум непересекающимся окружностям ω₁ и ω₂ проведены три общие касательные – две внешние, <i>a</i> и <i>b</i>, и одна внутренняя, <i>c</i>. Прямые <i>a, b</i> и <i>c</i> касаются окружности ω₁ в точках <i>A</i>₁, <i>B</i>₁ и <i>C</i>₁ соответственно, а окружности ω₂ – в точках <i>A</i>₂, <i>B</i>₂ и <i>C</i>₂ соответственно. Докажите, что отношение площадей треугольников <i>A</i>₁<i>B</i&gt...

Можно ли множество всех натуральных чисел разбить на непересекающиеся конечные подмножества  <i>A</i>₁, <i>A</i>₂, <i>A</i>₃, ...  так, чтобы при любом натуральном <i>k</i> сумма всех чисел, входящих в подмножество <i>A_k</i>, равнялась  <i>k</i> + 2013?

Даны три квадратных трёхчлена <i>P</i>(<i>x</i>), <i>Q</i>(<i>x</i>) и <i>R</i>(<i>x</i>) с положительными старшими коэффициентами, имеющие по два различных корня. Оказалось, что при подстановке корней трёхчлена <i>R</i>(<i>x</i>) в многочлен  <i>P</i>(<i>x</i>) + <i>Q</i>(<i>x</i>)  получаются равные значения. Аналогично при подстановке корней трёхчлена <i>P</i>(<i>x</i>) в многочлен  <i>Q</i>(<i>x</i>) + <i>R</i>(<i>x</i>)  получаются равные значения, а также при подстановке корней трёхчлена <i>Q</i>(<i>x</i>) в многочлен  <i>P</i>(<i&g...

В клетках доски 8×8 расставлены числа 1 и –1 (в каждой клетке – по одному числу). Рассмотрим всевозможные расположения фигурки <img align="middle" src="/storage/problem-media/116938/problem_116938_img_2.gif"> на доске (фигурку можно поворачивать, но её клетки не должны выходить за пределы доски). Назовём такое расположение <i> неудачным</i>, если сумма чисел, стоящих в четырёх клетках фигурки, не равна 0. Найдите наименьшее возможное число неудачных расположений.

Серединный перпендикуляр к стороне <i>AC</i> неравнобедренного остроугольного треугольника <i>ABC</i> пересекает прямые <i>AB</i> и <i>BC</i> в точках <i>B</i>₁ и <i>B</i>₂ соответственно, а серединный перпендикуляр к стороне <i>AB</i> пересекает прямые <i>AC</i> и <i>BC</i> в точках <i>C</i>₁ и <i>C</i>₂ соответственно. Описанные окружности треугольников <i>BB</i>₁<i>B</i>₂ и <i>CC</i>₁<i>C</i>₂ пересекаются в точках <i>P&lt...

Глава Монетного двора хочет выпустить монеты 12 номиналов (каждый – в натуральное число рублей) так, чтобы любую сумму от 1 до 6543 рублей можно было заплатить без сдачи, используя не более 8 монет. Сможет ли он это сделать?

(При уплате суммы можно использовать несколько монет одного номинала.)

Положительные числа <i>a, b, c</i> и <i>d</i> удовлетворяют условию   2(<i>a + b + c + d</i>) ≥ <i>abcd</i>.   Докажите, что  <i>a</i>² + <i>b</i>² + <i>c</i>² + <i>d</i>² ≥ <i>abcd</i>.

Найдите все такие натуральные <i>k</i>, что произведение первых <i>k</i> нечётных простых чисел, уменьшенное на 1, является точной степенью натурального числа (большей, чем первая).

На плоскости нарисован квадрат, стороны которого горизонтальны и вертикальны. В нём проведены несколько отрезков, параллельных сторонам, причём никакие два отрезка не лежат на одной прямой и не пересекаются по точке, внутренней для обоих отрезков. Оказалось, что отрезки разбили квадрат на прямоугольники, причём каждая вертикальная прямая, пересекающая квадрат и не содержащая отрезков разбиения, пересекает ровно <i>k</i> прямоугольников разбиения, а каждая горизонтальная прямая, пересекающая квадрат и не содержащая отрезков разбиения – ровно <i>l</i> прямоугольников. Каким могло оказаться количество прямоугольников разбиения?

Окружность с центром <i>I</i>, вписанная в треугольник <i>ABC</i>, касается сторон <i>BC, CA, AB</i> в точках <i>A</i>₁, <i>B</i>₁, <i>C</i>₁ соответственно. Пусть <i>I_a, I_b, I_c</i> – центры вневписанных окружностей треугольника <i>ABC</i>, касающихся соответственно сторон <i>BC, CA, AB</i>. Отрезки <i>I_aB</i>₁ и <i>I_bA</i>₁ пересекаются в точке <i>C</i>₂. Аналогично отрезки <i>I<sub>b&lt...

Петя и Вася придумали десять многочленов пятой степени. Затем Вася по очереди называл последовательные натуральные числа (начиная с некоторого), а Петя каждое названное число подставлял в один из многочленов по своему выбору и записывал полученные значения на доску слева направо. Оказалось, что числа, записанные на доске, образуют арифметическую прогрессию (именно в этом порядке). Какое максимальное количество чисел Вася мог назвать?

Найдите все такие натуральные <i>k</i>, что произведение первых <i>k</i> простых чисел, уменьшенное на 1, является точной степенью натурального числа (большей чем первая).

На окружности отметили <i>n</i> точек, разбивающие её на <i>n</i> дуг. Окружность повернули вокруг центра на угол ^2π<i>k</i>/_<i>n</i> (при некотором натуральном <i>k</i>), в результате чего отмеченные точки перешли в <i>n новых точек</i>, разбивающих окружность на <i>n новых дуг</i>.

Докажите, что найдётся новая дуга, которая целиком лежит в одной из старых дуг. (Считается, что концы дуги ей принадлежат.)

Из клетчатого квадрата 55×55 вырезали по границам клеток 400 трёхклеточных уголков  <img align="middle" src="/storage/problem-media/64351/problem_64351_img_2.gif">  (повёрнутых как угодно) и ещё 500 клеток. Докажите, что какие-то две вырезанные фигуры имеют общий отрезок границы.

На сторонах остроугольного треугольника <i>ABC</i> вне него построены квадраты <i>CAKL</i> и <i>CBMN</i>. Прямая <i>CN</i> пересекает отрезок <i>AK</i> в точке <i>X</i>, а прямая <i>CL</i> пересекает отрезок <i>BM</i> в точке <i>Y</i>. Точка <i>P</i>, лежащая внутри треугольника <i>ABC</i>, является точкой пересечения описанных окружностей треугольников <i>KXN</i> и <i>LYM</i>. Точка <i>S</i> – середина отрезка <i>AB</i>. Докажите, что  ∠<i>ACS</i> = ∠<i>BCP</i>.

Петя и Вася придумали десять квадратных трёхчленов. Затем Вася по очереди называл последовательные натуральные числа (начиная с некоторого), а Петя каждое названное число подставлял в один из трёхчленов по своему выбору и записывал полученные значения на доску слева направо. Оказалось, что числа, записанные на доске, образуют арифметическую прогрессию (именно в этом порядке). Какое максимальное количество чисел Вася мог назвать?

На плоскости проведены <i>n</i> прямых, среди которых нет параллельных. Никакие три из них не пересекаются в одной точке. Докажите, что существует такая <i>n</i>-звенная несамопересекающаяся ломаная <i>A</i>₀<i>A</i>₁<i>A</i>₂...<i>A_n</i>, что на каждой из <i>n</i> прямых лежит ровно по одному звену этой ломаной.

На доске написали 100 попарно различных натуральных чисел <i>a</i>₁, <i>a</i>₂, ..., <i>a</i>₁₀₀. Затем под каждым числом <i>a_i</i> написали число <i>b_i</i>, полученное прибавлением к <i>a_i</i> наибольшего общего делителя остальных 99 исходных чисел. Какое наименьшее количество попарно различных чисел может быть среди <i>b</i>₁, <i>b</i>₂, ..., <i>b</i>₁₀₀?

Остроугольный треугольник <i>ABC</i> вписан в окружность Ω. Касательные, проведённые к Ω в точках <i>B</i> и <i>C</i>, пересекаются в точке <i>P</i>. Точки <i>D</i> и <i>E</i> – основания перпендикуляров, опущенных из точки <i>P</i> на прямые <i>AB</i> и <i>AC</i>. Докажите, что точка пересечения высот треугольника <i>ADE</i> является серединой отрезка <i>BC</i>.