Олимпиадная задача Антипова: неудачные расположения фигурки на доске 8×8, доказательство от противного
Задача
В клетках доски 8×8 расставлены числа 1 и –1 (в каждой клетке – по одному числу). Рассмотрим всевозможные расположения фигурки 
на доске (фигурку можно поворачивать, но её клетки не должны выходить за пределы доски). Назовём такое расположение неудачным, если сумма чисел, стоящих в четырёх клетках фигурки, не равна 0. Найдите наименьшее возможное число неудачных расположений.
Решение
Оценка. Покажем, что в каждом "кресте" из пяти клеток доски найдётся хотя бы одно неудачное расположение. Пусть в крайних клетках креста стоят числа a, b, c, d, а в центральной – e; обозначим через S сумму всех этих пяти чисел. Пусть все расположения в кресте удачны. Тогда
S – a = S – b = S – c = S – d = 0, откуда a = b = c = d. Значит, e + 3a = 0, то есть e = –3a = ±3, что невозможно.
Итак, в каждом из 36 "крестов" (с центрами во всех некрайних клетках) есть неудачное расположение фигурки. Ясно, что каждое расположение содержится не более, чем в одном кресте; поэтому таких расположений не меньше 36.
Ответ
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь