Если  a₁₀₀ = 1  и  a_i = 2i  при  i = 1, 2, ..., 99,  то  b₁ = b₁₀₀ = 3,  так что среди чисел b_i будет не больше 99 различных.

  Докажем, что среди чисел b_i всегда найдутся 99 различных. Можно считать, что  a₁ < a₂ < ... < a₁₀₀.   Первый способ. Пусть d_k – наибольшее из чисел d₁, ..., d₁₀₀. Тогда при  i ≠ k  числа a_i делятся на d_k. Следовательно, при  i < j  и  i ≠ k ≠ j  разность  a_j – a_i  также делится на d_k. Поскольку она положительна,  a_j – a_i ≥ d_k ≥ d_i.  Поэтому  b_j > a_j ≥ a_i + d_i = b_i,  откуда  b_i ≠ b_j.  Итак, все 99 чисел b_i  (i ≠ k)  различны.   Второй способ. Обозначим  c_i = a_i+1 – a_i.  Пусть c_m – минимальное из чисел c₁, c₂, ..., c₉₉. Докажем, что  b_i < b_j,  если  i < j  и  i ≠ m + 1 ≠ j.  Разберём два случая.

  1)  i < j – 1.  Тогда  i ≤ 98,  и числа a_i+1 и a_i+2 делятся на d_i. Значит,  d_i ≤ a_i+2 –  a_i+1 < a_j – a_i,  откуда  b_i = a_i + d_i < a_i + (a_j – a_i) = a_j < b_j.

  2)  j = i + 1.  Тогда  i ≠ m + 1  и  i ≠ m.  Значит, числа a_m и a_m+1 делятся на d_i. Отсюда  d_i ≤ a_m+1 – a_m = c_m ≤ c_i,  следовательно,

b_i = a_i + d_i ≤ a_i + c_i = a_i+1 = a_j < b_j.