Задачи и олимпиады по математике

Задача

На сторонах остроугольного треугольника ABC вне него построены квадраты CAKL и CBMN. Прямая CN пересекает отрезок AK в точке X, а прямая CL пересекает отрезок BM в точке Y. Точка P, лежащая внутри треугольника ABC, является точкой пересечения описанных окружностей треугольников KXN и LYM. Точка S – середина отрезка AB. Докажите, что ∠ACS = ∠BCP.

Решение

Пусть Q – точка пересечения прямых KL и MN. Поскольку ∠QLC = ∠NMY = 90°, четырёхугольник QLYM – вписанный. Аналогично четырёхугольник QNXK – вписанный. Тем самым, Q – вторая точка пересечения описанных окружностей ω₁ и ω₂ треугольников KXN и LYM соответственно.

Прямоугольные треугольники CAX и CBY подобны, так как ∠XCA = 90° – ∠ACB = ∠YCB. Отсюда XC·CN = XC·CB = YC·CA = YC·CL, то есть степени точки C относительно окружностей ω₁ и ω₂ равны. Значит, C лежит на их радикальной оси PQ.

Достроим треугольник ABC до параллелограмма ACBD. Так как ∠CAD = 180° – ∠ACB = ∠LCN, CA = CL и AD = CB = CN, треугольники CAD и LCN равны. Отсюда ∠ACS = ∠ACD = ∠CLN. Так как четырёхугольник QLCN – вписанный, а BC || MN, то ∠CLN = ∠CQN = ∠PCB. Итак,

∠ACS = ∠CLN = ∠PCB.

Ответ

Ответ задачи отсутствует

Задача

Решение

Ответ

Подтверждение удаления