Олимпиадные задачи из источника «Заключительный этап» - сложность 2-3 с решениями

Глава Монетного двора хочет выпустить монеты 12 номиналов (каждый – в натуральное число рублей) так, чтобы любую сумму от 1 до 6543 рублей можно было заплатить без сдачи, используя не более 8 монет. Сможет ли он это сделать?

(При уплате суммы можно использовать несколько монет одного номинала.)

Положительные числа <i>a, b, c</i> и <i>d</i> удовлетворяют условию   2(<i>a + b + c + d</i>) ≥ <i>abcd</i>.   Докажите, что  <i>a</i>² + <i>b</i>² + <i>c</i>² + <i>d</i>² ≥ <i>abcd</i>.

Из целых чисел от 0 до 1000 выбрали 101 число.

Докажите, что среди модулей их попарных разностей есть десять различных чисел, не превосходящих 100.

Найдите все такие натуральные <i>k</i>, что произведение первых <i>k</i> нечётных простых чисел, уменьшенное на 1, является точной степенью натурального числа (большей, чем первая).

Вписанная и вневписанная сферы треугольной пирамиды <i>ABCD</i> касаются её грани <i>BCD</i> в различных точках <i>X</i> и <i>Y</i>.

Докажите, что треугольник <i>AXY</i> тупоугольный.

Даны многочлены <i>P</i>(<i>x</i>) и <i>Q</i>(<i>x</i>) десятой степени, старшие коэффициенты которых равны 1. Известно, что уравнение  <i>P</i>(<i>x</i>) = <i>Q</i>(<i>x</i>)  не имеет действительных корней. Докажите, что уравнение <i>P</i>(<i>x</i> +1) = <i>Q</i>(<i>x –</i> 1) имеет хотя бы один действительный корень.

На плоскости нарисован квадрат, стороны которого горизонтальны и вертикальны. В нём проведены несколько отрезков, параллельных сторонам, причём никакие два отрезка не лежат на одной прямой и не пересекаются по точке, внутренней для обоих отрезков. Оказалось, что отрезки разбили квадрат на прямоугольники, причём каждая вертикальная прямая, пересекающая квадрат и не содержащая отрезков разбиения, пересекает ровно <i>k</i> прямоугольников разбиения, а каждая горизонтальная прямая, пересекающая квадрат и не содержащая отрезков разбиения – ровно <i>l</i> прямоугольников. Каким могло оказаться количество прямоугольников разбиения?

Окружность с центром <i>I</i>, вписанная в треугольник <i>ABC</i>, касается сторон <i>BC, CA, AB</i> в точках <i>A</i>₁, <i>B</i>₁, <i>C</i>₁ соответственно. Пусть <i>I_a, I_b, I_c</i> – центры вневписанных окружностей треугольника <i>ABC</i>, касающихся соответственно сторон <i>BC, CA, AB</i>. Отрезки <i>I_aB</i>₁ и <i>I_bA</i>₁ пересекаются в точке <i>C</i>₂. Аналогично отрезки <i>I<sub>b&lt...

Петя и Вася придумали десять многочленов пятой степени. Затем Вася по очереди называл последовательные натуральные числа (начиная с некоторого), а Петя каждое названное число подставлял в один из многочленов по своему выбору и записывал полученные значения на доску слева направо. Оказалось, что числа, записанные на доске, образуют арифметическую прогрессию (именно в этом порядке). Какое максимальное количество чисел Вася мог назвать?

Существует ли такое натуральное <i>n</i>, что для любых ненулевых цифр <i>a</i> и <i>b</i> число  <span style="text-decoration: overline;"><i>anb</i></span>  делится на  <span style="text-decoration: overline;"><i>ab</i></span> ?  (Через  <span style="text-decoration: overline;"><i>x...y</i></span>  обозначено число, получаемое приписыванием друг к другу десятичных записей чисел <i>x, ..., y</i>.)

Найдите все такие натуральные <i>k</i>, что произведение первых <i>k</i> простых чисел, уменьшенное на 1, является точной степенью натурального числа (большей чем первая).

На окружности отметили <i>n</i> точек, разбивающие её на <i>n</i> дуг. Окружность повернули вокруг центра на угол ^2π<i>k</i>/_<i>n</i> (при некотором натуральном <i>k</i>), в результате чего отмеченные точки перешли в <i>n новых точек</i>, разбивающих окружность на <i>n новых дуг</i>.

Докажите, что найдётся новая дуга, которая целиком лежит в одной из старых дуг. (Считается, что концы дуги ей принадлежат.)

Из клетчатого квадрата 55×55 вырезали по границам клеток 400 трёхклеточных уголков  <img align="middle" src="/storage/problem-media/64351/problem_64351_img_2.gif">  (повёрнутых как угодно) и ещё 500 клеток. Докажите, что какие-то две вырезанные фигуры имеют общий отрезок границы.

На сторонах остроугольного треугольника <i>ABC</i> вне него построены квадраты <i>CAKL</i> и <i>CBMN</i>. Прямая <i>CN</i> пересекает отрезок <i>AK</i> в точке <i>X</i>, а прямая <i>CL</i> пересекает отрезок <i>BM</i> в точке <i>Y</i>. Точка <i>P</i>, лежащая внутри треугольника <i>ABC</i>, является точкой пересечения описанных окружностей треугольников <i>KXN</i> и <i>LYM</i>. Точка <i>S</i> – середина отрезка <i>AB</i>. Докажите, что  ∠<i>ACS</i> = ∠<i>BCP</i>.

Петя и Вася придумали десять квадратных трёхчленов. Затем Вася по очереди называл последовательные натуральные числа (начиная с некоторого), а Петя каждое названное число подставлял в один из трёхчленов по своему выбору и записывал полученные значения на доску слева направо. Оказалось, что числа, записанные на доске, образуют арифметическую прогрессию (именно в этом порядке). Какое максимальное количество чисел Вася мог назвать?

По кругу расставлено 2<i>n</i> действительных чисел, сумма которых положительна. Для каждого из них рассмотрим обе группы из <i>n</i> подряд стоящих чисел, в которых это число является крайним. Докажите, что найдётся число, для которого сумма чисел в каждой из двух таких групп положительна.

На плоскости проведены <i>n</i> прямых, среди которых нет параллельных. Никакие три из них не пересекаются в одной точке. Докажите, что существует такая <i>n</i>-звенная несамопересекающаяся ломаная <i>A</i>₀<i>A</i>₁<i>A</i>₂...<i>A_n</i>, что на каждой из <i>n</i> прямых лежит ровно по одному звену этой ломаной.

На доске написали 100 попарно различных натуральных чисел <i>a</i>₁, <i>a</i>₂, ..., <i>a</i>₁₀₀. Затем под каждым числом <i>a_i</i> написали число <i>b_i</i>, полученное прибавлением к <i>a_i</i> наибольшего общего делителя остальных 99 исходных чисел. Какое наименьшее количество попарно различных чисел может быть среди <i>b</i>₁, <i>b</i>₂, ..., <i>b</i>₁₀₀?

Остроугольный треугольник <i>ABC</i> вписан в окружность Ω. Касательные, проведённые к Ω в точках <i>B</i> и <i>C</i>, пересекаются в точке <i>P</i>. Точки <i>D</i> и <i>E</i> – основания перпендикуляров, опущенных из точки <i>P</i> на прямые <i>AB</i> и <i>AC</i>. Докажите, что точка пересечения высот треугольника <i>ADE</i> является серединой отрезка <i>BC</i>.

Даны различные действительные числа <i>a, b, с</i>. Докажите, что хотя бы два из уравнений  (<i>x – a</i>)(<i>x – b</i>) = <i>x – c</i>,  (<i>x – b</i>)(<i>x – c</i>) = <i>x – a</i>,

(<i>x – c</i>)(<i>x – a</i>) = <i>x – b</i>  имеют решение.