Олимпиадные задачи из источника «Заключительный этап» - сложность 3 с решениями
Из промежутка (2<sup>2<i>n</i></sup>, 2<sup>3<i>n</i></sup>) выбрано 2<sup>2<i>n</i>–1</sup> + 1 нечётное число.
Докажите, что среди выбранных чисел найдутся два, квадрат каждого из которых не делится на другое.
На плоскости отмечено 6 красных, 6 синих и 6 зеленых точек, причем никакие три из отмеченных точек не лежат на одной прямой. Докажите, что сумма площадей треугольников с вершинами одного цвета составляет не более четверти суммы площадей всех треугольников с отмеченными вершинами.
Можно ли в клетках таблицы 2002×2002 расставить натуральные числа от 1 до 2002² так, чтобы для каждой клетки этой таблицы из строки или из столбца, содержащих эту клетку, можно было бы выбрать тройку чисел, одно из которых равно произведению двух других?
Сумма положительных чисел <i>a, b, c</i> равна 3. Докажите, что <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/109763/problem_109763_img_2.gif">
Докажите, что для любого натурального числа <i>n</i> > 10000 найдётся такое натуральное число <i>m</i>, представимое в виде суммы двух квадратов, что
0 < <i>m – n</i> < 3 <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/109761/problem_109761_img_2.gif"> .
Многочлены <i>P, Q</i> и <i>R</i> с действительными коэффициентами, среди которых есть многочлен второй степени и многочлен третьей степени, удовлетворяют равенству <i>P</i>² + <i>Q</i>² = <i>R</i>². Докажите, что все корни одного из многочленов третьей степени – действительные.
Найдите наименьшее натуральное число, представимое в виде суммы 2002 натуральных слагаемых с одинаковой суммой цифр и в виде суммы 2003 натуральных слагаемых с одинаковой суммой цифр.
Дан четырёхугольник <i>ABCD</i>, вписанный в окружность ω. Касательная к ω, проведённая через точку <i>A</i>, пересекает продолжение стороны <i>BC</i> за точку <i>B</i> в точке <i>K</i>, а касательная к ω, проведённая через точку <i>B</i>, пересекает продолжение стороны <i>AD</i> за точку <i>A</i> в точке <i>M</i>. Известно, что <i>AM = AD</i> и <i>BK = BC</i>. Докажите, что <i>ABCD</i> – трапеция.
Пусть <i>O</i> – центр описанной окружности треугольника <i>ABC</i>. На сторонах <i>AB</i> и <i>BC</i> выбраны точки <i>M</i> и <i>N</i> соответственно, причём 2∠<i>MON</i> = ∠<i>AOC</i>. Докажите, что периметр треугольника <i> MBN </i> не меньше стороны <i>AC</i>.
На одной стороне угла с вершиной <i>O</i> взята точка <i>A</i>, а на другой – точки <i>B</i> и <i>C</i>, причём точка <i>B</i> лежит между <i>O</i> и <i>C</i>. Проведена окружность с центром <i>O</i><sub>1</sub>, вписанная в треугольник <i>OAB</i>, и окружность с центром <i>O</i><sub>2</sub>, касающаяся стороны <i>AC</i> и продолжений сторон <i>OA</i> и <i>OC</i> треугольника <i>AOC</i>. Докажите, что если <i>O</i><sub>1</sub><i>A = O</i><sub>2</sub><i>A</i>, то треугольник <i>ABC</i> равнобедренный.