Олимпиадные задачи из источника «Заключительный этап» - сложность 2-3 с решениями
Из промежутка (2<sup>2<i>n</i></sup>, 2<sup>3<i>n</i></sup>) выбрано 2<sup>2<i>n</i>–1</sup> + 1 нечётное число.
Докажите, что среди выбранных чисел найдутся два, квадрат каждого из которых не делится на другое.
На шахматной доске стоят восемь ладей, не бьющих друг друга. Докажите, что среди попарных расстояний между ними найдутся два одинаковых. (Расстояние между ладьями – это расстояние между центрами клеток, в которых они стоят.)
На плоскости отмечено 6 красных, 6 синих и 6 зеленых точек, причем никакие три из отмеченных точек не лежат на одной прямой. Докажите, что сумма площадей треугольников с вершинами одного цвета составляет не более четверти суммы площадей всех треугольников с отмеченными вершинами.
Можно ли в клетках таблицы 2002×2002 расставить натуральные числа от 1 до 2002² так, чтобы для каждой клетки этой таблицы из строки или из столбца, содержащих эту клетку, можно было бы выбрать тройку чисел, одно из которых равно произведению двух других?
Сумма положительных чисел <i>a, b, c</i> равна 3. Докажите, что <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/109763/problem_109763_img_2.gif">
Докажите, что для любого натурального числа <i>n</i> > 10000 найдётся такое натуральное число <i>m</i>, представимое в виде суммы двух квадратов, что
0 < <i>m – n</i> < 3 <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/109761/problem_109761_img_2.gif"> .
Многочлены <i>P, Q</i> и <i>R</i> с действительными коэффициентами, среди которых есть многочлен второй степени и многочлен третьей степени, удовлетворяют равенству <i>P</i>² + <i>Q</i>² = <i>R</i>². Докажите, что все корни одного из многочленов третьей степени – действительные.
Найдите наименьшее натуральное число, представимое в виде суммы 2002 натуральных слагаемых с одинаковой суммой цифр и в виде суммы 2003 натуральных слагаемых с одинаковой суммой цифр.
Дан четырёхугольник <i>ABCD</i>, вписанный в окружность ω. Касательная к ω, проведённая через точку <i>A</i>, пересекает продолжение стороны <i>BC</i> за точку <i>B</i> в точке <i>K</i>, а касательная к ω, проведённая через точку <i>B</i>, пересекает продолжение стороны <i>AD</i> за точку <i>A</i> в точке <i>M</i>. Известно, что <i>AM = AD</i> и <i>BK = BC</i>. Докажите, что <i>ABCD</i> – трапеция.
Пусть <i>O</i> – центр описанной окружности треугольника <i>ABC</i>. На сторонах <i>AB</i> и <i>BC</i> выбраны точки <i>M</i> и <i>N</i> соответственно, причём 2∠<i>MON</i> = ∠<i>AOC</i>. Докажите, что периметр треугольника <i> MBN </i> не меньше стороны <i>AC</i>.
На одной стороне угла с вершиной <i>O</i> взята точка <i>A</i>, а на другой – точки <i>B</i> и <i>C</i>, причём точка <i>B</i> лежит между <i>O</i> и <i>C</i>. Проведена окружность с центром <i>O</i><sub>1</sub>, вписанная в треугольник <i>OAB</i>, и окружность с центром <i>O</i><sub>2</sub>, касающаяся стороны <i>AC</i> и продолжений сторон <i>OA</i> и <i>OC</i> треугольника <i>AOC</i>. Докажите, что если <i>O</i><sub>1</sub><i>A = O</i><sub>2</sub><i>A</i>, то треугольник <i>ABC</i> равнобедренный.