Олимпиадная задача по планиметрии 9–10 класс: четырёхугольник ABCD

Задача

Дан четырёхугольник ABCD, вписанный в окружность ω. Касательная к ω, проведённая через точку A, пересекает продолжение стороны BC за точку B в точке K, а касательная к ω, проведённая через точку B, пересекает продолжение стороны AD за точку A в точке M. Известно, что AM = AD и BK = BC. Докажите, что ABCD – трапеция.

Решение

По теореме о касательной и секущей BM² = AM· DM = ½ DM², AK² = BK·CK = ½ CK².

По теореме синусов а так как sin∠ACK = sin∠BDM, то sin∠CAK = sin∠DBM. Поэтому либо ∠CAK = ∠DBM, либо ∠CAK + ∠DBM = 180°.

В первом случае треугольники CAK и DBM равны (они подобны по двум углам, а AB – их общая медиана, проведённая из соответствующих вершин), поэтому AD = BC. Следовательно, хорды AB и CD параллельны.

Рассмотрим второй случай. Из теоремы о вписанных углах и теоремы об угле между касательной и хордой следует, что ∠CAK= ∠CAB+ ∠KAB= ∠CDB+ ∠ADB= ∠CDA, ∠DBM= ∠DBA+ ∠ABM= ∠ACD+ ∠BCA= ∠BCD, а так как ∠CAK+ ∠DBM= 180°, то ∠CDA+ ∠BCD= 180°. Следовательно, AD || BC.

Ответ

Ответ задачи отсутствует

Олимпиадная задача по планиметрии для 9–10 классов: четырёхугольник ABCD и трапеция

Задача

Решение

Ответ

Подтверждение удаления