Олимпиадные задачи из источника «23 турнир (2001/2002 год)» - сложность 2 с решениями

Тангенсы углов треугольника – целые числа. Чему они могут быть равны?

Пусть <i>a, b, c</i> – стороны треугольника. Докажите неравенство  <i>a</i>³ + <i>b</i>³ + 3<i>abc > c</i>³.

На клетчатой доске размером 23×23 клетки стоят четыре фишки: в левом нижнем и в правом верхнем углах доски – по белой фишке, а в левом верхнем и в правом нижнем углах - по чёрной. Белые и чёрные фишки ходят по очереди, начинают белые. Каждым ходом одна из фишек сдвигается на любую соседнюю (по стороне) свободную клетку. Белые фишки стремятся попасть в две соседние по стороне клетки. Могут ли чёрные им помешать?

Из бумаги вырезали два одинаковых треугольника <i>ABC</i> и <i>A'B'C'</i> и положили их на стол, перевернув при этом один из треугольников.

Докажите, что середины отрезков <i>AA', BB'</i> и <i>CC'</i> лежат на одной прямой.

Стороны <i>AB, BC, CD</i> и <i>DA</i> четырёхугольника <i>ABCD</i> касаются некоторой окружности в точках <i>K, L, M</i> и <i>N</i> соответственно, <i>S</i> – точка пересечения отрезков <i>KM</i> и <i>LN</i>. Известно, что вокруг четырёхугольника <i>SKBL</i> можно описать окружность. Докажите, что вокруг четырёхугольника <i>SNDM</i> также можно описать окружность.

Для натуральных чисел <i>x</i> и <i>y</i> число  <i>x</i>² + <i>xy + y</i>²  в десятичной записи оканчивается нулем. Докажите, что оно оканчивается хотя бы двумя нулями.

Можно ли разрезать какой-нибудь треугольник на четыре выпуклые фигуры: треугольник, четырёхугольник, пятиугольник и шестиугольник?

Имеется много одинаковых прямоугольных картонок размером <i>a</i>×<i>b</i> см, где <i>a</i> и <i>b</i> – целые числа, причём  <i>a < b</i>.  Известно, что из таких картонок можно сложить и прямоугольник 49×51 см, и прямоугольник 99×101 см. Можно ли по этим данным однозначно определить <i>a</i> и <i>b</i>?

На плоскости даны три красные точки, три синие точки и ещё точка <i>O</i>, лежащая как внутри треугольника с красными вершинами, так и внутри треугольника с синими вершинами, причём расстояние от <i>O</i> до любой красной точки меньше расстояния от <i>O</i> до любой синей точки. Могут ли все красные и все синие точки лежать на одной и той же окружности?

Существуют ли такие натуральные числа  <i>a</i>₁ < <i>a</i>₂ < <i>a</i>₃ < ... < <i>a</i>₁₀₀,  что  НОД(<i>a</i>₁, <i>a</i>₂) > НОД(<i>a</i>₂, <i>a</i>₃) > ... > НОД(<i>a</i>₉₉, <i>a</i>₁₀₀)?

На полях <i>A, B</i> и <i>C</i> в левом нижнем углу шахматной доски стоят белые ладьи (см. рис.). Разрешается делать ходы по обычным правилам, однако после любого хода каждая ладья должна быть под защитой какой-нибудь другой ладьи. Можно ли за несколько ходов переставить ладьи так, чтобы каждая попала на обозначенное той же буквой поле в правом верхнем углу? <div align="center"><img src="/storage/problem-media/98541/problem_98541_img_2.gif"></div>

На квадратном торте расположены треугольные шоколадки, которые не соприкасаются между собой. Всегда ли можно разрезать торт на выпуклые многоугольники так, чтобы каждый многоугольник содержал ровно одну шоколадку? (Торт считайте плоским квадратом.)

Существуют 1000 последовательных натуральных чисел, среди которых нет ни одного простого числа (например,  1001! + 2,  1001! + 3, ...,   1001! + 1001).

А существуют ли 1000 последовательных натуральных чисел, среди которых ровно пять простых чисел?

<i>Высотой</i> пятиугольника назовём отрезок перпендикуляра, опущенного из вершины на противоположную сторону, а <i>медианой</i> – отрезок, соединяющий вершину с серединой противоположной стороны. Известно, что в некотором пятиугольнике равны десять длин – длины всех высот и всех медиан. Докажите, что этот пятиугольник – правильный.

В Колиной коллекции есть четыре царские золотые пятирублевые монеты. Коле сказали, что какие-то две из них фальшивые. Коля хочет проверить (доказать или опровергнуть), что среди монет есть ровно две фальшивые. Удастся ли ему это сделать с помощью двух взвешиваний на чашечных весах без гирь? (Фальшивые монеты одинаковы по весу, настоящие тоже одинаковы по весу, но фальшивые легче настоящих.)

Cлава перемножил первые <i>n</i> натуральных чисел, а Валера перемножил первые <i>m</i> чётных натуральных чисел (<i>n</i> и <i>m</i> больше 1). В результате у них получилось одно и то же число. Докажите, что хотя бы один из мальчиков ошибся.

В трапеции <i>ABCD</i> на боковой стороне <i>AB</i> дана точка <i>K</i>. Через точку <i>A</i> провели прямую <i>l</i>, параллельную прямой <i>KC</i>, а через точку <i>B</i> – прямую <i>m</i>, параллельную прямой <i>KD</i>. Докажите, что точка пересечения прямых <i>l</i> и <i>m</i> лежит на стороне <i>CD</i>.