Олимпиадные задачи из источника «осенний тур, основной вариант, 8-9 класс»

Известно, что число 2³³³ имеет 101 цифру и начинается с цифры 1. Сколько чисел в ряду 2, 4, 8, 16, ..., 2³³³ начинается с цифры 4?

В строке записано несколько чисел. Каждую секунду робот выбирает какую-либо пару рядом стоящих чисел, в которой левое число больше правого, меняет их местами и при этом умножает оба числа на 2. Докажите, что через некоторое время сделать очередную такую операцию будет невозможно.

Саша выставляет на пустую шахматную доску ладьи: первую – куда захочет, а каждую следующую ставит так, чтобы она побила нечётное число ранее выставленных ладей. Какое наибольшее число ладей он сможет так выставить?

Правильный (2<i>n</i>+1)-угольник разбили диагоналями на  2<i>n</i> – 1  треугольник. Докажите, что среди них по крайней мере три равнобедренных.

В каждой клетке таблицы  (<i>n</i>–2)×<i>n</i>  (<i>n</i> > 2)  записано целое число от 1 до <i>n</i>, причём в каждой строке все числа различны и в каждом столбце все числа различны. Докажите, что эту таблицу можно дополнить до квадрата <i>n</i>&times<i>n</i>, записав в каждую новую клетку какое-нибудь целое число от 1 до <i>n</i> так, чтобы по-прежнему в каждой строке и в каждом столбце числа были различны.

<i>n</i> красных и <i>n</i> синих точек, строго чередуясь, разделили окружность на 2<i>n</i> дуг так, что каждые две смежные из них имеют различную длину. При этом длины каждой из этих дуг равны одному из трёх чисел: <i>a, b</i> или <i>c</i>. Докажите, что <i>n</i>-угольник с красными вершинами и <i>n</i>-угольник с синими вершинами имеют равные периметры и равные площади.

Существуют ли такие натуральные числа  <i>a</i>₁ < <i>a</i>₂ < <i>a</i>₃ < ... < <i>a</i>₁₀₀,  что  НОД(<i>a</i>₁, <i>a</i>₂) > НОД(<i>a</i>₂, <i>a</i>₃) > ... > НОД(<i>a</i>₉₉, <i>a</i>₁₀₀)?