Олимпиадная задача по планиметрии для 8–9 класса от Акопяна А. В.: описанные окружности в четырёхугольнике
Задача
Стороны AB, BC, CD и DA четырёхугольника ABCD касаются некоторой окружности в точках K, L, M и N соответственно, S – точка пересечения отрезков KM и LN. Известно, что вокруг четырёхугольника SKBL можно описать окружность. Докажите, что вокруг четырёхугольника SNDM также можно описать окружность.
Решение
Обозначим через α, β, γ и δ вписанные углы, опирающиеся соответственно на дуги NK, KL, LM и MN. Ясно, что α + β + γ + δ = 180°.
∠BLS = ∠BLN = α + β (BLN – угол между хордой и касательной). Аналогично ∠BKS = β + γ, ∠DMS = α + δ, ∠DNS = γ + δ. Отсюда видно, что сумма этих четырёх углов равна 2(α + β + γ + δ) = 360°. Поскольку четырёхугольник SKBL вписанный, ∠BLS + ∠BKS = 180°. Поэтому и
∠DMS + ∠DNS = 180°, то есть четырёхугольник SNDM вписанный.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь