Олимпиадная задача по теории чисел: убывающие НОД для последовательности чисел, 8-9 класс

Первый пример:  a_i = 2¹⁰⁰ – 2^100–i.  НОД(a_i, a_i+1) = (2^100–i, 2^99–i) = 2^99–i. Второй пример:  a_i = p_ip_i+1q_i,  где  p₁ > p₂ > ... > p₁₀₁  – простые числа, а простые числа q_i выбираются так, что  q₁ > p₁,  q_i+1 > p_iq_i.

Существуют.