Олимпиадные задачи из источника «осенний тур, основной вариант, 10-11 класс»
осенний тур, основной вариант, 10-11 класс
НазадНа координатной плоскости расположили треугольник так, что его сдвиги на векторы с целочисленными координатами не перекрываются.
а) Может ли площадь такого треугольника быть больше ½?
б) Найдите наибольшую возможную площадь такого треугольника.
В ряд стоят 23 коробочки с шариками, причём для каждого числа <i>n</i> от 1 до 23 есть коробочка, в которой ровно <i>n</i> шариков. За одну операцию можно переложить в любую коробочку еще столько же шариков, сколько в ней уже есть, из какой-нибудь другой коробочки, в которой шариков больше. Всегда ли можно такими операциями добиться, чтобы в первой коробочке оказался 1 шарик, во второй – 2 шарика, ..., в 23-й – 23 шарика?
Все члены бесконечной арифметической прогрессии – натуральные числа. В каждом члене удалось подчеркнуть одну или несколько подряд идущих цифр так, что в первом члене оказалась подчёркнута цифра 1, во втором – 2,..., в 23-м – цифры 2 и 3 подряд, и так далее (для любого натурального <i>n</i> в <i>n</i>-м члене подчёркнутые цифры образовали число <i>n</i>). Докажите, что разность прогрессии – степень числа 10.
Пусть <i>F</i><sub>1</sub>, <i>F</i><sub>2</sub>, <i>F</i><sub>3</sub>, ... – последовательность выпуклых четырёхугольников, где <i>F</i><sub><i>k</i>+1</sub> (при <i>k</i> = 1, 2, 3, ...) получается так: <i>F<sub>k</sub></i> разрезают по диагонали, одну из частей переворачивают и склеивают по линии разреза с другой частью. Какое наибольшее количество различных четырёхугольников может содержать эта последовательность? (Различными считаются многоугольники, которые нельзя совместить движением.)
Клетки шахматной доски занумерованы числами от 1 до 64 так, что соседние номера стоят в соседних (по стороне) клетках.
Какова наименьшая возможная сумма номеров на диагонали?
Существуют ли такие натуральные числа <i>a</i><sub>1</sub> < <i>a</i><sub>2</sub> < <i>a</i><sub>3</sub> < ... < <i>a</i><sub>100</sub>, что НОК(<i>a</i><sub>1</sub>, <i>a</i><sub>2</sub>) > НОК(<i>a</i><sub>2</sub>, <i>a</i><sub>3</sub>) > ... > НОК(<i>a</i><sub>99</sub>, <i>a</i><sub>100</sub>)?
На плоскости даны три красные точки, три синие точки и ещё точка <i>O</i>, лежащая как внутри треугольника с красными вершинами, так и внутри треугольника с синими вершинами, причём расстояние от <i>O</i> до любой красной точки меньше расстояния от <i>O</i> до любой синей точки. Могут ли все красные и все синие точки лежать на одной и той же окружности?