Олимпиадные задачи из источника «22 турнир (2000/2001 год)» для 1-11 класса - сложность 1-2 с решениями

Приведите пример многочлена <i>P</i>(<i>x</i>) степени 2001, для которого  <i>P</i>(<i>x</i>) + <i>P</i>(1 – <i>x</i>) ≡ 1.

Камни лежат в трёх кучках: в одной – 51 камень, в другой – 49, а в третьей – 5. Разрешается объединять любые кучки в одну, а также разделять кучку из чётного количества камней на две равные. Можно ли получить 105 кучек по одному камню в каждой?

Внутри угла с вершиной <i>M</i> отмечена точка <i>A</i>. Из этой точки выпустили шар, который отразился от одной стороны угла в точке <i>B</i>, затем от другой стороны в точке <i>C</i> и вернулся в <i>A</i> ("угол падения" равен "углу отражения", см. рис.). Докажите, что центр <i>O</i> описанной окружности треугольника <i>BCM</i> лежит на прямой <i>AM</i>. (Шар считайте точкой.) <img src="/storage/problem-media/105104/problem_105104_img_2.png" width="200">

В некоторой стране суммарная зарплата 10% самых высокооплачиваемых работников составляет 90% зарплаты всех работников. Может ли так быть, что в каждом из регионов, на которые делится эта страна, зарплата любых 10% работников составляет не более 11% всей зарплаты, выплачиваемой в этом регионе?

На поверхности правильного тетраэдра с ребром 1 отмечены девять точек.

Докажите, что среди этих точек найдутся две, расстояние между которыми (в пространстве) не превосходит 0,5.

В треугольнике <i>ABC</i> точка <i>X</i> лежит на стороне <i>AB</i>, а точка <i>Y</i> – на стороне <i>BC</i>. Отрезки <i>AY</i> и <i>CX</i> пересекаются в точке <i>Z</i>. Известно, что  <i>AY = CY</i>  и

<i>AB = CZ</i>.  Докажите, что точки <i>B, X, Z</i> и <i>Y</i> лежат на одной окружности.

Десятичная запись натурального числа <i>a</i> состоит из <i>n</i> цифр, а десятичная запись числа <i>a</i>³ состоит из <i>m</i> цифр. Может ли  <i>m + n</i>  равняться 2001?

Автобус, едущий по маршруту длиной 100 км, снабжен компьютером, показывающим прогноз времени, остающегося до прибытия в конечный пункт. Это время рассчитывается исходя из предположения, что средняя скорость автобуса на оставшемся участке маршрута будет такой же, как и на уже пройденной его части. Спустя 40 минут после начала движения ожидаемое время до прибытия составляло 1 час и оставалось таким же ещё в течение пяти часов. Могло ли такое быть? Если да, то сколько километров проехал автобус к окончанию этих пяти часов?

а) На столе лежат 5 одинаковых бумажных треугольников. Каждый разрешается сдвигать в любом направлении, <i>не поворачивая</i>. Верно ли, что всегда каждый из этих треугольников можно накрыть четырьмя другими?

б) На столе лежат 5 одинаковых <i>равносторонних</i> бумажных треугольников. Каждый разрешается сдвигать в любом направлении, не поворачивая. Докажите, что каждый из этих треугольников можно накрыть четырьмя другими.

В магазин завезли 20 кг сыра, за ним выстроилась очередь. Отпустив сыр очередному покупателю, продавщица безошибочно подсчитывает средний вес покупки по всему проданному сыру и сообщает, на сколько человек хватит оставшегося сыра, если все будут покупать именно по этому среднему весу. Могла ли продавщица после каждого из первых 10 покупателей сообщать, что сыра хватит ещё ровно на 10 человек? Если да, то сколько сыра осталось в магазине после первых 10 покупателей?

В треугольнике одна из средних линий больше одной из медиан. Докажите, что этот треугольник – тупоугольный.

Натуральное число <i>n</i> разрешается заменить на число <i>ab</i>, если  <i>a + b = n</i>  и числа <i>a</i> и <i>b</i> натуральные.

Можно ли с помощью таких замен получить из числа 22 число 2001?

Длины сторон треугольника <i>ABC</i> равны <i>a, b</i> и <i>c</i>  (<i>AB = c,  BC = a,  CA = b</i>  и  <i>a < b < c</i>).  На лучах <i>BC</i> и <i>AC</i> отмечены соответственно такие точки <i>B</i>₁ и <i>A</i>₁, что  <i>BB</i>₁ = <i>AA</i>₁ = <i>c</i>.  На лучах <i>CA</i> и <i>BA</i> отмечены соответственно такие точки <i>C</i>₂ и <i>B</i>₂, что  <i>CC</i>₂ = <i>BB</i>₂ = <i>a</i&...

Для какого наибольшего <i>n</i> можно выбрать на поверхности куба <i>n</i> точек так, чтобы не все они лежали в одной грани куба и при этом были вершинами правильного (плоского) <i>n</i>-угольника.

Рассматривается доска 8×8, клетки которой пока не окрашены. Сколькими способами можно раскрасить доску в чёрный и белый цвета так, чтобы чёрных клеток было 31 и никакие две чёрные клетки не имели общей стороны? (Два способа раскраски считаются различными, если найдётся клетка, которая при одном из этих способах раскраски белая, а при другом – чёрная.)

Натуральные числа <i>a, b, c, d</i> таковы, что наименьшее общее кратное этих чисел равно  <i>a + b + c + d</i>.

Докажите, что <i>abcd</i> делится на 3 или на 5 (или на то и другое).

Между двумя параллельными прямыми расположили окружность радиуса 1, касающуюся обеих прямых, и равнобедренный треугольник, основание которого лежит на одной из прямых, а вершина – на другой. Известно, что треугольник и окружность имеют ровно одну общую точку и что эта точка лежит на вписанной окружности треугольника. Найдите радиус вписанной окружности треугольника.

Дана таблица <i>n</i>×<i>n</i>, в каждой её клетке записано число, причём все числа различны. В каждой строке отметили наименьшее число, и все отмеченные числа оказались в разных столбцах. Затем в каждом столбце отметили наименьшее число, и все отмеченные числа оказались в разных строках. Докажите, что оба раза отметили одни и те же числа. <h3>Решение</h3>Наименьшее число во всей таблице, очевидно, было отмечено оба раза. По условию ни одно из чисел, стоящих с ним в одной строке (одном столбце), не было отмечено ни разу. Поэтому оба раза было также отмечено наименьшее число в таблице, полученной из данной вычеркиванием этих строки и столбца. И так далее. <h3>Замечания</h3> 3 балла <h3>Источники и прецеденты использования</h3> &lt...

Среди углов каждой боковой грани пятиугольной призмы есть угол φ. Найдите все возможные значения φ.

Натуральные числа <i>a, b, c, d</i> таковы, что <i>ad – bc</i> > 1.  Докажите, что хотя бы одно из чисел <i>a, b, c, d</i> не делится на  <i>ad – bc</i>.

Треугольник <i>ABC</i> вписан в окружность. Через точку <i>A</i> проведены хорды, пересекающие сторону <i>BC</i> в точках <i>K</i> и <i>L</i> и дугу <i>BC</i> в точках <i>M</i> и <i>N</i>.

Докажите, что если вокруг четырёхугольника <i>KLNM</i> можно описать окружность, то треугольник <i>ABC</i> равнобедренный.

В клетках таблицы 4×4 записаны числа так, что сумма соседей у каждого числа равна 1 (соседними считаются клетки, имеющие общую сторону).

Найдите сумму всех чисел таблицы.

В параллелограмме <i>ABCD</i> точка <i>E</i> – середина <i>AD</i>. Точка <i>F</i> – основание перпендикуляра, опущенного из <i>B</i> на прямую <i>CE</i>.

Докажите, что треугольник <i>ABF</i> – равнобедренный.