Олимпиадные задачи из «XII Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина (2016 г.)» для 10-11 класса

Задача 166275 • Сложность: 3 • 9-11 класс

Дан неравнобедренный треугольник ABC, AA1 – его биссектриса, A2 – точка касания вписанной окружности со стороной BC. Аналогично определяются точки B1, B2, C1, C2. Пусть O – центр описанной окружности треугольника, I – центр вписанной окружности. Докажите, что радикальный центр описанных окружностей треугольников AA1A2, BB1B2</sub&...

Задача 166274 • Сложность: 3 • 9-10 класс

Постройте треугольник по вершине A, центру O описанной окружности и точке Лемуана L.

Заславский А. А. Планиметрия Проективная геометрия

Задача 166273 • Сложность: 3 • 9-11 класс

Дан треугольник ABC. Точка K – основание биссектрисы внешнего угла A. Точка M – середина дуги AC описанной окружности. Точка N выбрана на биссектрисе угла C так, что AN || BM. Докажите, что точки M, N и K лежат на одной прямой.

Богданов И. И. Планиметрия Проективная геометрия

Задача 166272 • Сложность: 2 • 10-11 класс

Существует ли выпуклый многогранник, у которого рёбер столько же, сколько диагоналей? (Диагональю многогранника называется отрезок, соединяющий две вершины, не лежащие в одной грани.)

Блинков А. Д. Стереометрия Примеры и контрпримеры. Конструкции

Задача 166271 • Сложность: 3 • 8-11 класс

Дьявол предлагает Человеку сыграть в следующую игру. Сначала Человек платит некоторую сумму s и называет 97 троек {i, j, k}, где i, j, k – натуральные числа, не превосходящие 100. Затем Дьявол рисует выпуклый 100-угольник A1A2...A100 с площадью, равной 100, и выплачивает Человеку выигрыш, равный сумме площадей 97 треугольников AiAjAk. При каком наибольшем s Человеку выгодно согласиться?

Белухов Н. Планиметрия Теория алгоритмов Индукция Принцип Дирихле Оценка + пример

Задача 166270 • Сложность: 3 • 9-10 класс

Даны два треугольника ABC и A'B'C', имеющие общие описанную и вписанную окружности, и точка P, лежащая внутри обоих треугольников.

Докажите, что сумма расстояний от P до сторон треугольника ABC равна сумме расстояний от P до сторон треугольника A'B'C'.

Калашников В. Планиметрия

Задача 166269 • Сложность: 3 • 8-10 класс

В треугольникеABC IиIa– центры вписанной и вневписанной окружностей,A'точка описанной окружности, диаметрально противоположнаяA, AA1– высота. Докажите, что ∠IA'Ia= ∠IA1Ia.

Кожевников П. А. Планиметрия

Задача 166268 • Сложность: 2 • 8-10 класс

Прямая, параллельная стороне BC треугольника ABC, пересекает стороны AB и AC в точках P и Q соответственно. Внутри треугольника APQ взята точка M. Отрезки MB и MC пересекают отрезок PQ в точках E и F соответственно. Пусть N – вторая точка пересечения описанных окружностей ω1 и ω2 треугольников PMF и QME. Докажите, что точки A, M и N лежат на одной прямой.

Ясинский В. Планиметрия

Задача 166267 • Сложность: 4 • 9-11 класс

Диагонали вписанного четырёхугольника ABCD пересекаются в точке M. Окружность ω касается отрезка MA в точке P, отрезка MD в точке Q и описанной окружности Ω четырёхугольника ABCD в точке X. Докажите, что X лежит на радикальной оси описанных окружностей ωQ и ωP треугольников ACQ и BDP.

Фролов И. И. Планиметрия

Задача 166266 • Сложность: 3 • 8-10 класс

Из высот остроугольного треугольника можно составить треугольник. Докажите, что из его биссектрис тоже можно составить треугольник.

Заславский А. А. Планиметрия

Задача 166265 • Сложность: 2 • 8-10 класс

Продолжения боковых сторон трапеции ABCD пересекаются в точке P, а её диагонали – в точке Q. Точка M на меньшем основании BC такова, что AM = MD. Докажите, что ∠PMB = ∠QMB.

Тимохин М. Планиметрия

Задача 166264 • Сложность: 2 • 8-10 класс

Центр окружности ω2 лежит на окружности ω1. Из точки X окружности ω1 проведены касательные XP и XQ к окружности ω2 (P и Q – точки касания), которые повторно пересекают ω1 в точках R и S. Докажите, что прямая PQ проходит через середину отрезка RS.

Нилов Ф. Планиметрия

Задача 166263 • Сложность: 4 • 9-11 класс

Есть 101 жук, среди которых некоторые являются друзьями. Известно, что любые 100 жуков могут расположиться на плоскости так, что каждые два из них будут друзьями тогда и только тогда, когда расстояние между ними равно 1. Верно ли, что все жуки тоже могут расположиться таким же образом?

Белухов Н. Планиметрия Комбинаторная геометрия

Задача 166262 • Сложность: 3 • 9-10 класс

В треугольнике ABC O – центр описанной окружности, I – центр вписанной. Прямая, проходящая через I и перпендикулярная OI, пересекает AB в точке X, а внешнюю биссектрису угла C – в точке Y. В каком отношении I делит отрезок XY?

Калашников В. Планиметрия

Задача 166261 • Сложность: 3 • 9-10 класс

Пусть H – ортоцентр остроугольного треугольника ABC. На касательной в точке H к описанной окружности ωA треугольника BHC взята точка XA, что AH = AXA и H ≠ XA. Аналогично определены точки XB и XC. Докажите, что треугольник XAXBXC и ортотреугольник треугольника ABC подобны.

Планиметрия

Задача 166260 • Сложность: 2 • 8-10 класс

Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке O. Касательная, проведённая к описанной окружности треугольника BOC в точке O, пересекает луч CB в точке F. Описанная окружность треугольника FOD повторно пересекает прямую BC в точке G. Докажите, что AG = AB.

Швецов Д. В. Планиметрия

Задача 165812 • Сложность: 4 • 10-11 класс

В призму ABCA'B'C' вписана сфера, касающаяся боковых граней BCC'B', CAA'C, ABB'A' в точках A0, B0, C0 соответственно. При этом

∠A0BB' = ∠B0CC' = ∠C0AA'.

а) Чему могут равняться эти углы?

б) Докажите, что отрезки AA0, BB0, CC0 пересекаются в одной точке.

в) Докажите, что проекции центра сферы на прямые ...

Богданов И. И. Планиметрия Стереометрия

Задача 165811 • Сложность: 3 • 10-11 класс

Дан тетраэдр, в который можно вписать сферу, касающуюся всех его рёбер. Пусть отрезки касательных из вершин равны a, b, c и d. Всегда ли можно из этих четырёх отрезков сложить какой-нибудь треугольник? (Не обязательно использовать все отрезки. Разрешается образовывать сторону треугольника из двух отрезков.)

Ивлев Ф. Планиметрия Стереометрия Примеры и контрпримеры. Конструкции

Задача 165810 • Сложность: 3 • 10-11 класс

Пусть MA, MB, MC – середины сторон неравнобедренного треугольника ABC, точки HA, HB, HC, отличные от MA, MB, MC, лежащие на соответствующих сторонах, таковы, что MAHB = MAHC, MBHA = MBHC, MCHA = MCHB. Докажите, что &lt...

Якубов А. Планиметрия Стереометрия Геометрические методы

Задача 165809 • Сложность: 4 • 9-11 класс

BB1 и CC1 – высоты треугольника ABC. Касательные к описанной окружности треугольника AB1C1 в точках B1 и C1 пересекают прямые AB и AC в точках M и N соответственно. Докажите, что вторая точка пересечения описанных окружностей треугольников AMN и AB1C1 лежит на прямой Эйлера треугольника ABC.

Доледенок А. В. Планиметрия Проективная геометрия

Задача 165808 • Сложность: 3 • 9-10 класс

Вписанная окружность ω треугольника ABC касается сторон BC, AC и AB в точках A0, B0 и C0 соответственно. Биссектрисы углов B и C пересекают серединный перпендикуляр к отрезку AA0 в точках Q и P соответственно. Докажите, что прямые PC0 и QB0 пересекаются на окружности ω.

Прокопенко Д. Планиметрия

Задача 165807 • Сложность: 3 • 8-10 класс

Правильный шестиугольник ABCDEF вписан в окружность. Точки P и Q выбраны на касательных, проведённых к этой окружности в точках A и D соответственно, так, что прямая PQ касается меньшей дуги EF этой окружности. Найдите угол между прямыми PB и QC.

Скутин А. Планиметрия

Задача 165805 • Сложность: 3 • 9-10 класс

На стороне BC треугольника ABC взята произвольная точка D. Через D и A проведены окружности ω1 и ω2 так, что прямая BA касается ω1, прямая CA касается ω2. BX – вторая касательная, проведённая из точки B к окружности ω1, CY – вторая касательная, проведённая из точки C к окружности ω2. Докажите, что описанная окружность треугольника XDY касается прямой BC.

Хилько Д. Планиметрия

Задача 165803 • Сложность: 4 • 9-11 класс

В треугольнике ABC O, M, N – центр описанной окружности, центр тяжести и точка Нагеля соответственно.

Докажите, что угол MON прямой тогда и только тогда, когда один из углов треугольника равен 60°.

Емельянов Л. А. Планиметрия

Задача 165802 • Сложность: 4 • 9-11 класс

Дан треугольник ABC. Рассмотрим три окружности, первая из которых касается описанной окружности Ω в вершине A, а вписанной окружности ω внешним образом в какой-то точке A1. Аналогично определяются точки B1 и C1.

а) Докажите, что прямые AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке.

б) Пусть A2 – точка касания ω со стороной BC. Докажите, что прямые AA1 и AA2</sub&g...

Мякишев А. Г. Планиметрия

Олимпиадные задачи из источника «XII Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина (2016 г.)» для 10-11 класса

Категории

XII Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина (2016 г.)

Фильтры

Фильтры

Олимпиадные задачи из источника «XII Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина (2016 г.)» для 10-11 класса

Категории

XII Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина (2016 г.)

Фильтры

Фильтры

Подтверждение удаления