Задача
Дан тетраэдр, в который можно вписать сферу, касающуюся всех его рёбер. Пусть отрезки касательных из вершин равны a, b, c и d. Всегда ли можно из этих четырёх отрезков сложить какой-нибудь треугольник? (Не обязательно использовать все отрезки. Разрешается образовывать сторону треугольника из двух отрезков.)
Решение
Возьмём на плоскости окружности β и γ с радиусами 2 и 1 соответственно, касающиеся внешним образом. Проведём к ним общую внешнюю касательную и построим окружность δ, вписанную в криволинейный треугольник, образованный обеими окружностями и касательной. Очевидно, что радиус этой окружности меньше 1, так что из радиусов трёх окружностей треугольник составить нельзя. Теперь заменим прямую, касающуюся β и γ, окружностью α с радиусом, большим 4, касающейся их внешним образом, и построим три сферы, центры и радиусы которых совпадают с центрами и радиусами окружностей α, β, γ. Наконец, построим сферу с радиусом, равным радиусу окружности δ, касающуюся трёх остальных. Центры этих шаров образуют тетраэдр, а точки их касаний лежат на сфере, касающейся всех рёбер. При этом отрезки a, b, c, d равны радиусам окружностей α, β, γ, δ, из которых ни одного треугольника составить нельзя.
Ответ
Не всегда.
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь