Задача
Даны два треугольника ABC и A'B'C', имеющие общие описанную и вписанную окружности, и точка P, лежащая внутри обоих треугольников.
Докажите, что сумма расстояний от P до сторон треугольника ABC равна сумме расстояний от P до сторон треугольника A'B'C'.
Решение
Как показано в решении 2 задачи 166262 геометрическим местом точек с постоянной суммой ориентированных расстояний до сторон треугольника ABC является прямая, перпендикулярная прямой OI, где O, I – центры описанной и вписанной окружностей. При этом для точки I сумма расстояний до сторон обоих данных треугольников равна 3r, а для точки O – R + r (формула Карно, которая легко следует из задачи 157621), где R, r – радиусы описанной и вписанной окружностей. Поэтому суммы расстояний до сторон обоих треугольников равны для всех точек плоскости.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь