Задача
Пусть MA, MB, MC – середины сторон неравнобедренного треугольника ABC, точки HA, HB, HC, отличные от MA, MB, MC, лежащие на соответствующих сторонах, таковы, что MAHB = MAHC, MBHA = MBHC, MCHA = MCHB. Докажите, что HA, HB, HC – основания высот треугольника ABC.
Решение
Отметим в пространстве такую точку X, что XMA = MAHB, XMB = MBHA, XMC = MCHA. Рассмотрим тетраэдр XMAMBMC. У него все грани равновелики, потому что, например, треугольник XMAMB равен треугольнику HCMAMB. Значит, все грани равны (см. задачу 187064), в частности, равны треугольники MAMBMC и MBMAHC, откуда следует, что точки HC, MA, MB, MC лежат на одной окружности – окружности девяти точек. Следовательно, HC – основание высоты.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь