Пусть I, H – соответственно центр вписанной окружности и ортоцентр треугольника. При гомотетии с центром M и коэффициентом –½ точки N и H переходят в I и O соответственно (см. задачу 157784). Поэтому  ∠MON = 90°  тогда и только тогда, когда  IO = IH.

  Если один из углов треугольника равен 60°, то  IO = IH  согласно задаче 156867 б).

  Пусть  IO = IH.  Разберём два случая.

  1)  AO = AH.  Тогда согласно задаче 155599  ∠A = 60°  или 120°. В последнем случае углы B и C меньше 60°, значит,  BO ≠ BH,  CO ≠ CH,  и мы фактически приходим к случаю 2.

  2)  AO ≠ AH,  BO ≠ BH.  Так как AI – биссектриса угла HAO, то в треугольниках AOI и AHI сторона AI – общая,  IO = IH,  ∠OAI = ∠HAI,  но  AO ≠ AH.  Следовательно,  ∠AOI + ∠AHI = 180°,  то есть точки A, O, I, H лежат на одной окружности. Аналогично точки B, O, I, H лежат на одной (причём той же) окружности. Если треугольник ABC – остроугольный, то  2∠C = ∠AOB = ∠AHB = 180° – ∠C  и  ∠C = 60°.

  Случаи неостроугольного треугольника разбираются аналогично и приводят к тому же результату или к противоречию.

Ответ задачи отсутствует