Олимпиадные задачи из «XI Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина (2015 г.)» для 5-9 класса, сложность 3

Задача 166248 • Сложность: 3 • 8-10 класс

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность ω с центром O, M1 и M2 – середины сторон AB и CD соответственно; Ω – описанная окружность треугольника OM1M2, X1 и X2 – точки пересечения ω с Ω, а Y1 и Y2 – вторые точки пересечения описанных окружностей ω1 и ω2 треугольников CDM1 и ABM2</sub&g...

Задача 166246 • Сложность: 3 • 9-11 класс

Пусть AL и AK – внутренняя и внешняя биссектрисы треугольника ABC, P – точка пересечения касательных к описанной окружности в точках B и C. Перпендикуляр, восставленный из точки L к BC, пересекает прямую AP в точке Q. Докажите, что Q лежит на средней линии треугольника LKP.

Ивлев Ф. Планиметрия Проективная геометрия

Задача 166245 • Сложность: 3 • 9-11 класс

В окружность вписан шестиугольник ABCDEF. K, L, M, N – точки пересечения пар прямых AB и CD, AC и BD, AF и DE, AE и DF.

Докажите, что если три из этих точек лежат на одной прямой, то и четвёртая точка лежит на этой прямой.

Ясинский В. Планиметрия Проективная геометрия

Задача 166244 • Сложность: 3 • 9-11 класс

Дан треугольник ABC, O – центр его описанной окружности. Проекции точек D и X на стороны треугольника лежат на прямых l и L, причём l || XO. Докажите, что прямая L образует равные углы с прямыми AB и CD.

Нилов Ф. Планиметрия

Задача 166243 • Сложность: 3 • 9-10 класс

Выпуклый четырёхугольник разрезан диагоналями на четыре треугольника. Восстановите четырёхугольник по центрам описанных окружностей двух соседних треугольников и центрам вписанных окружностей двух противоположных друг другу треугольников.

Френкин Б. Р. Планиметрия

Задача 166241 • Сложность: 3 • 9-11 класс

Дан неравнобедренный остроугольный треугольник ABC. Точки A1, A2 симметричны основаниям внутренней и внешней биссектрис угла A относительно середины стороны BC. На отрезке A1A2 как на диаметре построена окружность α. Аналогично определяются окружности β и γ. Докажите, что эти три окружности пересекаются в двух точках.

Мякишев А. Г. Планиметрия

Задача 166240 • Сложность: 3 • 9-10 класс

В треугольнике ABC проведены высоты AH1, BH2 и CH3. Точка M – середина отрезка H2H3. Прямая AM пересекает отрезок H2H1 в точке K.

Докажите, что точка K принадлежит средней линии треугольника ABC, параллельной AC.

Хилько Д. Руденко А. Планиметрия

Задача 166239 • Сложность: 3 • 9-11 класс

Сколько (максимум) кругов можно расположить на плоскости так, чтобы каждые два из них пересекались, а никакие три – нет?

Заславский А. А. Планиметрия Комбинаторная геометрия Топология

Задача 166238 • Сложность: 3 • 9-10 класс

Пусть H – ортоцентр остроугольного треугольника ABC. Серединный перпендикуляр к отрезку BH пересекает стороны BA, BC в точках A0, C0 соответственно. Докажите, что периметр треугольника A0OC0 (O – центр описанной окружности треугольника ABC) равен AC.

Соколов А. Планиметрия

Задача 166236 • Сложность: 3 • 9-10 класс

Дан остроугольный треугольник ABC. Постройте на сторонах BC, CA, AB точки A', B', C' так, чтобы выполнялись следующие условия:

- A'B' || AB;

- C'C – биссектриса угла A'C'B';

- A'C' + B'C' = AB.

Заславский А. А. Планиметрия

Задача 166235 • Сложность: 3 • 9-10 класс

В равнобедренной трапеции ABCD с основаниями BC и AD диагонали AC и BD перпендикулярны. Из точки D опущен перпендикуляр DE на сторону AB, а из точки C – перпендикуляр CF на прямую DE. Докажите, что ∠DBF = ½ ∠FCD.

Москвитин Н. А. Планиметрия

Задача 166234 • Сложность: 3 • 9-10 класс

Высоты AA1, CC1 треугольника ABC пересекаются в точке H. HA – точка симметричная H относительно A. HAC1 пересекает прямую BC в точке C'; аналогично определяется точка A'. Докажите, что A'C' || AC.

Швецов Д. В. Планиметрия

Задача 166233 • Сложность: 3 • 9-10 класс

В остроугольном треугольнике ABC AA', BB' и CC' – высоты. Точки Ca, Cb симметричны C' относительно AA' и BB'. Аналогично определены точки Ab, Ac, Bc, Ba. Докажите, что прямые AbBa, BcCb и CaAc параллельны.

Заславский А. А. Планиметрия

Задача 166230 • Сложность: 3 • 8-10 класс

На стороне AD квадрата ABCD во внутреннюю сторону построен тупоугольный равнобедренный треугольник AED. Вокруг него описана окружность и проведён её диаметр AF, на стороне CD выбрана точка G так, что CG = DF. Докажите, что угол BGE меньше половины угла AED.

Москвитин Н. А. Планиметрия

Задача 166229 • Сложность: 3 • 9-10 класс

В треугольнике ABC O – центр описанной окружности, H – ортоцентр. Через середину OH параллельно BC проведена прямая, пересекающая стороны AB и AC в точках D и E. Оказалось, что O – центр вписанной окружности треугольника ADE. Найдите углы треугольника ABC.

Рожкова М. Планиметрия

Задача 165374 • Сложность: 3 • 9-11 класс

В остроугольном неравнобедренном треугольнике ABC высоты AA' и BB' пересекаются в точке H, а медианы треугольника AHB пересекаются в точке M. Прямая CM делит отрезок A'B' пополам. Найдите угол C.

Креков Д. Планиметрия

Задача 165373 • Сложность: 3 • 9-11 класс

Диагонали выпуклого четырёхугольника ABCD перпендикулярны. Точки A', B', C', D' – центры описанных окружностей треугольников ABD, BCA, CDB, DAC соответственно. Докажите, что прямые AA', BB', CC', DD' пересекаются в одной точке.

Заславский А. А. Планиметрия

Задача 165371 • Сложность: 3 • 9-11 класс

Дан фиксированный треугольник ABC. По его описанной окружности движется точка P так, что хорды BC и AP пересекаются. Прямая AP разрезает треугольник BPC на два меньших, центры вписанных окружностей которых обозначим через I1 и I2 соответственно. Прямая I1I2 пересекает прямую BC в точке Z. Докажите, что все прямые ZP проходят через фиксированную точку.

Якубов А. Крутовский Р. Планиметрия Проективная геометрия

Задача 165370 • Сложность: 3 • 9-11 класс

На плоскости нарисованы 100 кругов, каждые два из которых имеют общую точку (возможно, граничную).

Докажите, что найдётся точка, принадлежащая не менее чем 15 кругам.

Полянский А. Харитонов М. Многочлены Планиметрия Комбинаторная геометрия Принцип Дирихле

Задача 165368 • Сложность: 3 • 9-11 класс

Дан выпуклый четырёхугольник. Постройте циркулем и линейкой точку, проекции которой на прямые, содержащие его стороны, являются вершинами параллелограмма.

Заславский А. А. Планиметрия

Задача 165367 • Сложность: 3 • 8-11 класс

На сторонах AB, AC треугольника ABC взяли такие точки C1, B1 соответственно, что BB1 ⊥ CC1. Точка X внутри треугольника такова, что

∠XBC = ∠B1BA, ∠XCB = ∠C1CA. Докажите, что ∠B1XC1 = 90° – ∠A.

Антропов А. Якубов А. Планиметрия

Задача 165366 • Сложность: 3 • 8-11 класс

На стороне AB четырёхугольника ABCD нашлась такая точка M, что четырёхугольники AMCD и BMDC описаны около окружностей с центрами O1 и O2 соответственно. Прямая O1O2 отсекает от угла CMD равнобедренный треугольник с вершиной M. Докажите, что четырёхугольник ABCD вписанный.

Кунгожин М. Планиметрия

Задача 165363 • Сложность: 3 • 8-11 класс

Докажите, что любой выпуклый четырёхугольник можно разрезать на пять многоугольников, каждый из которых имеет ось симметрии.

Белухов Н. Планиметрия Комбинаторная геометрия

Задача 165362 • Сложность: 3 • 8-11 класс

В треугольнике ABC AB = BC, ∠B = 20°. Точка M на основании AC такова, что AM : MC = 1 : 2, точка H – проекция C на BM. Найдите угол AHB.

Евдокимов М. А. Планиметрия

Задача 165361 • Сложность: 3 • 8-11 класс

Окружность, проходящая через вершины A, B и точку пересечения высот треугольника ABC, пересекает стороны AC и BC во внутренних точках.

Докажите, что 60° < ∠C < 90°.

Блинков А. Д. Планиметрия

Олимпиадные задачи из источника «XI Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина (2015 г.)» для 5-9 класса - сложность 3 с решениями

Категории

XI Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина (2015 г.)

Фильтры

Фильтры

Олимпиадные задачи из источника «XI Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина (2015 г.)» для 5-9 класса - сложность 3 с решениями

Категории

XI Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина (2015 г.)

Фильтры

Фильтры

Подтверждение удаления