Задача
На стороне AD квадрата ABCD во внутреннюю сторону построен тупоугольный равнобедренный треугольник AED. Вокруг него описана окружность и проведён её диаметр AF, на стороне CD выбрана точка G так, что CG = DF. Докажите, что угол BGE меньше половины угла AED.
Решение
Очевидно, что F лежит на прямой CD. Так как CG = DF, то FG = CD = AB, то есть ABGF – параллелограмм, и ∠BGD = 180° – ∠AFD = ∠AED. Поэтому утверждение задачи равносильно тому, что ∠BGE < ∠EGD или что расстояние от точки E до прямой BG меньше, чем до прямой CD. Но расстояние от E до CD равно расстоянию до AF, поскольку FE – биссектриса угла DFA, так что достаточно доказать, что E лежит ближе к BG, чем к AF. Прямая, проходящая черезEпараллельноAB, пересекаетAFв центреOпостроенной окружности (см. рис.). Следовательно, EO > AD/2=AB/2, что равносильно искомому неравенству.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь