Олимпиадные задачи из источника «VI Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина (2010 г.)» для 11 класса - сложность 1-3 с решениями
VI Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина (2010 г.)
НазадСреди вершин двух неравных икосаэдров можно выбрать шесть, являющихся вершинами правильного октаэдра.
Найдите отношение рёбер икосаэдров.
Дана прямая <i>l</i> в пространстве и точка <i>A</i>, не лежащая на ней. Для каждой прямой <i>l'</i>, проходящей через <i>A</i>, построим общий перпендикуляр <i>XY</i> (<i>Y</i> лежит на <i>l'</i>) к прямым <i>l</i> и <i>l'</i>. Найдите ГМТ точек <i>Y</i>.
Окружность с центром <i>F</i> и парабола с фокусом <i>F</i> пересекаются в двух точках.
Докажите, что на окружности найдутся такие четыре точки <i>A, B, C, D</i>, что прямые <i>AB, BC, CD</i> и <i>DA</i> касаются параболы.
Дан выпуклый четырёхугольник <i>ABCD</i>. Известно, что ∠<i>ABD</i> + ∠<i>ACD</i> > ∠<i>BAC</i> + ∠<i>BDC</i>. Докажите, что <i>S<sub>ABD</sub> + S<sub>ACD</sub> > S<sub>BAC</sub> + S<sub>BDC</sub></i>.
Четырёхугольник <i>ABCD</i> вписан в окружность с центром <i>O</i>. Точки <i>C'</i> и <i>D'</i> диаметрально противоположны точкам <i>C</i> и <i>D</i> соответственно. Касательные к окружности в точках <i>C'</i> и <i>D'</i> пересекают прямую <i>AB</i> в точках <i>E</i> и <i>F</i> (<i>A</i> лежит между <i>E</i> и <i>B, B</i> – между <i>A</i> и <i>F</i>). Прямая <i>EO</i> пересекает стороны <i>AC</i> и <i>BC</i> в точках <i>X</i> и <i>Y</i>, а прямая <i>FO</i> пересекает стороны <i>AD</i> и <i>BD...
На хорде <i>AC</i> окружности ω выбрали точку <i>B</i>. На отрезках <i>AB</i> и <i>BC</i> как на диаметрах построили окружности ω<sub>1</sub> и ω<sub>2</sub> с центрами <i>O</i><sub>1</sub> и <i>O</i><sub>2</sub>, которые пересекают ω второй раз в точках <i>D</i> и <i>E</i> соответственно. Лучи <i>O</i><sub>1</sub><i>D</i> и <i>O</i><sub>2</sub><i>E</i> пересекаются в точке <i>F</i>. Лучи <i>AD</i> и <i>CE</i> пересекаются в точке <i>G</i>.
Докажите, что прямая <i>FG</i> проходит через середину <i>AC</i>....
Постройте треугольник по высоте и биссектрисе, проведённым из одной вершины, и медиане, проведённой из другой вершины.
В угол с вершиной <i>A</i> вписана окружность, касающаяся сторон угла в точках <i>B</i> и <i>C</i>. Прямая, проходящая через <i>A</i>, пересекает окружность в точках <i>D</i> и <i>E</i>. Хорда <i>BX</i> параллельна прямой <i>DE</i>. Докажите, что отрезок <i>XC</i> проходит через середину отрезка <i>DE</i>.
В остроугольном треугольнике <i>ABC AA</i><sub>1</sub>, <i>BB</i><sub>1</sub> и <i>CC</i><sub>1</sub> – высоты. Прямые <i>AA</i><sub>1</sub> и <i>B</i><sub>1</sub><i>C</i><sub>1</sub> пересекаются в точке <i>K</i>. Окружности, описанные вокруг треугольников <i>A</i><sub>1</sub><i>KC</i><sub>1</sub> и <i>A</i><sub>1</sub><i>KB</i><sub>1</sub>, вторично пересекают прямые <i>AB</i> и <i>AC</i> в точках <i>N</i> и <i>L</i> соответственно. Докажите, что
а) сумма диаметров этих окружностей равна...
Выпуклый <i>n</i>-угольник разрезан на три выпуклых многоугольника. У одного из них <i>n</i> сторон, у другого – больше чем <i>n</i>, у третьего – меньше чем <i>n</i>.
Каковы возможные значения <i>n</i>?
Дан треугольник <i>ABC</i>. С помощью двусторонней линейки, проведя не более восьми линий, постройте на стороне <i>AB</i> такую точку <i>D</i>, что
<i>AD</i> : <i>BD = BC</i> : <i>AC</i>.
Каждый из двух правильных многогранников <i>P</i> и <i>Q</i> разрезали плоскостью на две части. Одну из частей <i>P</i> и одну из частей <i>Q</i> приложили друг к другу по плоскости разреза. Может ли получиться правильный многогранник, не равный ни одному из исходных, и если да, то сколько у него может быть граней?
Вписанная окружность треугольника <i>ABC</i> касается его сторон в точках <i>A', B'</i> и <i>C'</i>. Известно, что ортоцентры треугольников <i>ABC</i> и <i>A'B'C'</i> совпадают. Верно ли, что треугольник <i>ABC</i> – правильный?
В прямоугольном треугольнике <i>ABC</i> (∠<i>B</i> = 90°) проведена высота <i>BH</i>. Окружность, вписанная в треугольник <i>ABH</i>, касается сторон <i>AB, AH</i> в точках <i>H</i><sub>1</sub>, <i>B</i><sub>1</sub> соответственно; окружность, вписанная в треугольник <i>CBH</i>, касается сторон <i>CB, CH</i> в точках <i>H</i><sub>2</sub>, <i>B</i><sub>2</sub> соответственно. Пусть <i>O</i> – центр описанной окружности треугольника <i>H</i><sub>1</sub><i>BH</i><sub>2</sub>. Докажите, что <i>OB</i><sub>1</sub> = <i>OB</i...
Два выпуклых многоугольника <i>A</i><sub>1</sub><i>A</i><sub>2</sub>...<i>A<sub>n</sub></i> и <i>B</i><sub>1</sub><i>B</i><sub>2</sub>...<i>B<sub>n</sub></i> (<i>n</i> ≥ 4) таковы, что каждая сторона первого больше соответствующей стороны второго.
Может ли оказаться, что каждая диагональ второго больше соответствующей диагонали первого?
Каждая из двух равных окружностей ω<sub>1</sub> и ω<sub>2</sub> проходит через центр другой. Треугольник <i>ABC</i> вписан в ω<sub>1</sub>, а прямые <i>AC, BC</i> касаются ω<sub>2</sub>.
Докажите, что cos∠<i>A</i> + cos∠<i>B</i> = 1.
Пусть <i>O, I</i> – центры описанной и вписанной окружностей прямоугольного треугольника; <i>R, r</i> – радиусы этих окружностей; <i>J</i> – точка, симметричная вершине прямого угла относительно <i>I</i>. Найдите <i>OJ</i>.