Олимпиадные задачи из источника «2017/2018» для 7 класса

Дима пишет подряд натуральные числа: 123456789101112... .

На каких местах, считая от начала, в первый раз будут стоять три цифры 5 подряд?

Найдите наименьшее значение выражения <i>а</i>⁴ – <i>а</i>² – 2<i>а</i>.

Есть 2018 гирек массами 1 г, 2 г, ..., 2018 г. Заяц положил на одну чашу весов две гирьки. Волк хотел двумя другими гирьками на другой чаше их уравновесить, но не смог. Какие гирьки мог взять Заяц?

На сторонах <i>AB</i> и <i>BC</i> равностороннего треугольника <i>ABC</i> отмечены точки <i>D</i> и <i>K</i> соответственно, а на стороне <i>AC</i> отмечены точки <i>E</i> и <i>M</i> так, что <i>DA + AE = KC + CM = AB</i>. Отрезки <i>DM</i> и <i>KE</i> пересекаются. Найдите угол между ними.

Существует ли четырёхзначное число, сумма цифр которого в 25 раз меньше их произведения?

В остроугольном треугольнике <i>АВС</i> биссектриса <i>AN</i>, высота <i>BH</i> и прямая, перпендикулярная стороне <i>АВ</i> и проходящая через ее середину, пересекаются в одной точке. Найдите угол <i>ВАС</i>.

Можно ли представить число <img align="middle" src="/storage/problem-media/66420/problem_66420_img_2.png"> в виде суммы квадратов двух натуральных чисел?

В коробке лежат фрукты (не менее пяти). Если вытащить наугад три фрукта, то среди них обязательно найдется яблоко. Если вытащить наугад четыре фрукта, то среди них обязательно найдется груша. Какие фрукты могут быть вытащены и в каком количестве, если взять наугад пять фруктов?

Прямоугольник разбили двумя прямыми, параллельными его сторонам, на четыре прямоугольника. Один из них оказался квадратом, а периметры прямоугольников, соседних с ним, равны 20 см и 16 см. Найдите площадь исходного прямоугольника.

Сравните <img align="middle" src="/storage/problem-media/66417/problem_66417_img_2.png"> и <img align="middle" src="/storage/problem-media/66417/problem_66417_img_3.png">.

Простым или составным является число 200² – 399?

Незнайка утверждает, что он может провести на плоскости 4 прямые так, чтобы их суммарное количество точек пересечения равнялось пяти и 5 прямых так, чтобы их суммарное количество точек пересечения равнялось четырем. Прав ли он?

Вася получил список книг на летние каникулы (12 недель). Он поставил себе цель их прочитать и решил, что каждую неделю он будет читать одно и то же количество книг. Но каждую неделю Вася читал на одну книгу меньше запланированного, поэтому выполнил свой план на 3 недели позже, чем хотел. На сколько недель раньше срока Вася прочитал бы весь список, если бы каждую неделю читал на одну книгу больше, чем планировал?

Можно ли заполнить таблицу 3×3 различными натуральными числами так, чтобы суммы в строках были равны между собой и произведения в столбцах также были равны между собой (но суммы не обязаны равняться произведениям).

Игорь записал на каждой из трёх карточек по одной цифре, отличной от нуля. Катя составила из них все возможные трёхзначные числа. Может ли сумма этих чисел равняться 2018?

Про четырехугольник известно, что существуют две прямые, каждая из которых разбивает его на два равнобедренных прямоугольных треугольника. Обязательно ли он является квадратом?

Сравните<img align="middle" src="/storage/problem-media/66366/problem_66366_img_2.png">и<img align="middle" src="/storage/problem-media/66366/problem_66366_img_3.png">.

Можно ли раздать шести детям 40 конфет так, чтобы у всех было разное количество конфет и у каждых двух вместе было менее половины всех конфет?

Из вершины прямого угла треугольника <i>ABC</i> проведена медиана <i>СМ</i>. Окружность, вписанная в треугольник <i>САМ</i>, касается <i>СМ</i> в её середине. Найдите угол <i>ВАС</i>.

За контрольную работу каждый из 25 школьников получил одну из оценок "3", "4" или "5". На сколько больше было пятёрок, чем троек, если сумма всех оценок равна 106?

Семь грибников собрали вместе 100 грибов. Обязательно ли найдутся два грибника, собравшие вместе не менее чем 36 грибов, если количества грибов, собранных каждым, попарно различаются?

Даны 10 чисел:  <i>а</i>₁ < <i>а</i>₂ < ... < <i>а</i>₁₀.  Сравните среднее арифметическое этих чисел со средним арифметическим первых шести чисел.

Саша спускался по лестнице из своей квартиры к другу Коле, который живет на первом этаже. Когда он спустился на несколько этажей, оказалось, что он прошёл треть пути. Когда он спустился ещё на один этаж, ему осталось пройти половину пути. На каком этаже живёт Саша?