Олимпиадные задачи из источника «2012/13» для 7 класса
Докажите, что если каждое из двух чисел является суммой квадратов двух целых чисел, то и их произведение является суммой квадратов двух целых чисел.
На белых и чёрных клетках доски 10×10 стоит по одинаковому количеству ладей так, что никакие две ладьи друг друга не бьют.
Докажите, что на эту доску можно поставить еще одну ладью так, чтобы она не била никакую из уже стоящих.
Существует ли пятиугольник, который одним прямолинейным разрезом можно разбить на три части так, что из двух частей можно будет сложить третью?
Известно, что <i>а, b</i> и <i>c</i> – различные составные натуральные числа, но каждое из них не делится ни на одно из целых чисел от 2 до 100 включительно. Докажите, что если эти числа – наименьшие из возможных, то их произведение <i>abc</i> является кубом натурального числа.
Высота <i>AK</i>, биссектриса <i>BL</i> и медиана <i>CM</i> треугольника <i>АВС</i> пересекаются в точке <i>О</i>, причём <i>АО = ВО</i>.
Докажите, что треугольник <i>АВС</i> – равносторонний.
Известно, что Толя поймал рыб больше, чем Коля, а Петя и Вася вместе поймали рыб столько же, сколько Коля и Толя вместе. Кроме того, Толя и Петя вместе поймали меньше, чем Вася и Коля. Кто из них поймал больше всех рыб, а кто – меньше всех?
Имеет ли решение ребус АПЕЛЬСИН – СПАНИЕЛЬ = 2012·2013?
Даны два треугольника. Сумма двух углов первого треугольника равна некоторому углу второго. Сумма другой пары углов первого треугольника также равна некоторому углу второго. Верно ли, что первый треугольник – равнобедренный?
В десятичной записи числа <sup>1</sup>/<sub>7</sub> зачеркнули 2013-ю цифру после запятой (а другие цифры не меняли).
Как изменилось число: увеличилось или уменьшилось?
Перед началом чемпионата школы по шахматам каждый из участников сказал, какое место он рассчитывает занять. Семиклассник Ваня сказал, что займёт последнее место. По итогам чемпионата все заняли различные места, и оказалось, что каждый, кроме, разумеется, Вани, занял место хуже, чем ожидал. Какое место занял Ваня?
Можно ли расположить на плоскости четыре точки <i>А, В, С</i> и <i>D</i> так, чтобы прямые <i>АВ</i> и <i>CD, АС</i> и <i>BD, AD</i> и <i>ВС</i> были перпендикулярны?
Графики функций <i>у = kx + b</i> и <i>у = bx + k</i> пересекаются. Найдите абсциссу точки пересечения.